Вычисление производной функции

Как вычислить производную функцию

Если у нас есть функция f(x), то производная функции f(x) обозначается f'(x) или dy/dx (где y представляет значение функции, а x — независимую переменную). Величина производной показывает, как быстро меняется значение функции при изменении аргумента x.

Геометрически производная в точке x определяет угол наклона касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна, график функции стремится вверх, если производная отрицательна, то график стремится вниз. Производная равна нулю в точках экстремума (локальных минимумах или максимумах).

Используя следующий график f(x) для построения графика f′(x):

Источник: math.libretexts.org

Заметим, что f(x) возрастает и f′(x)>0 на (-2,3). Кроме того, f(x) убывает и f′(x)<0 на (-∞,-2) и на (3,+∞). Также заметим, что f(x) имеет горизонтальные касательные в точках -2 и 3, причем f′(-2)=0 и f′(3)=0.

Источник: math.libretexts.org

Производную функции можно вывести только по одной переменной, поэтому остальные переменные следует рассматривать как константы.

Простой способ вычисления производной функции — это вычисление предела. Если он существует, то вы имеете производную, иначе вы знаете, что функция не дифференцируема.

В качестве функции возьмем f(x) = x2.

(f(x+h)-f(x))/h = ((x+h)2 - x2)/h = (x2 + 2xh +h2 - x2)/h = 2x + h;

Теперь мы должны взять предел для h в 0, чтобы увидеть: f'(x) = 2x.

Формулы

Для вычисления производной функции существуют различные методы, в зависимости от сложности функции и доступности аналитического решения. Вот несколько основных методов:

1. Правило степеней: если функция вида \(f(x) = x^n\), то производная \(f'(x) = n * x^(n -1)\). Просто умножьте степень на исходное значение, и уменьшите степень на 1.

2. Правило суммы и разности: если f(x) = u(x) + v(x) или f(x) = u(x) - v(x), то производная f'(x) = u'(x) + v'(x) или f'(x) = u'(x) - v'(x). Просто возьмите производные от каждой функции и сложите (или вычтите) их.

3. Правило произведения: если f(x) = u(x) * v(x), то производная f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x). Возьмите производную первой функции, умножьте на вторую функцию, и прибавьте к этому произведению второй функции, умноженной на производную первой функции.

4. Правило частного: если функция вида f(x) = u(x) / v(x), то производная \(f'(x) = [u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)] / [v(x)]^2\). Возьмите производные от числителя и знаменателя, и используйте формулу для частного.

5. Правило цепочки: если есть составная функция, например, f(x) = g(u(x)), то производная f'(x) = g'(u(x)) * u'(x). Возьмите производную внешней функции, затем производную внутренней функции, и перемножьте их.

Для тригонометрических и экспоненциальных функций существуют определенные правила, например:

• d/dx(sin(x)) = cos(x);
• d/dx(cos(x)) = -sin(x);
• \(d/dx(e^x) = e^x\);
• d/dx(ln(x)) = 1/x.

Примеры решения задач

Применение производных

Решение:

Чтобы найти критические точки, сначала нужно найти, где производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции f(x):

\(f'(x) = d/dx(3x^3 - 9x^2 + 6x)\)
\(f'(x) = 9x^2 - 18x + 6\)

Зададим f'(x) равной нулю и, решая для x, найдем критические точки:

\(9x^2 - 18x + 6 = 0\)

Используя квадратичную формулу или факторизацию, находим:
x = (18 ± √(18^2 - 4 * 9 * 6)) / (2 * 9)
x = (18 ± √(180)) / 18
x = (18 ± 6√5) / 18
x = 1 ± √5

Таким образом, критическими точками являются x = 1 + √5 и x = 1 - √5.

Решение:

Предположим, что длина прямоугольника равна x метров, а ширина — y метров.

Запишем уравнение для площади прямоугольника в терминах x и y: Площадь = x * y

Периметр = 2x + 2y = 200

Решим уравнение периметра для одной из переменных в терминах другой: y = 100 - x

Подставим значение y в уравнение площади: Площадь = \(x * (100 - x) = 100x - x^2\)

Найдем критические точки, взяв производную и приравняв ее к нулю:
d(Площадь)/dx = 100 - 2x
100 - 2x = 0
x = 50

Проверим конечные точки возможной области (0 ≤ x ≤ 100) и оценим площадь:
x = 0, площадь = 0
x = 100, площадь = 100 * (100 - 100) = 0

Максимальная площадь имеет место при x = 50, поэтому длина прямоугольника равна 50 м, а ширина y = 100 - 50 = 50 м.

Таким образом, для максимизации площади прямоугольное поле должно иметь размеры 50 м на 50 м.

Наклон = Изменение в Y/Изменение в X = Δy/Δx

Наклон дельты x и дельты y

Источник: mathsisfun.com

Из графика мы видим, что:

x изменяется от x до x+Δx;
y изменяется от f(x) до f(x+Δx).

Теперь выполним следующие действия:

Заполним формулу наклона:
Δy/Δx = (f(x+Δx) - f(x)) / Δx

Упростим его максимально:
Затем сделаем так, чтобы Δx уменьшалось до 0.

Например, так:

функция f(x) = x²
Мы знаем, что f(x) = x², и можем вычислить f(x+Δx) :

Начнем с: f(x+Δx) = (x+Δx)²
Разложим (x + Δx)²: f(x+Δx) = x2 + 2x Δx + (Δx)²

Формула наклона имеет вид:
(f(x+Δx) - f(x))/Δx

Подставим f(x+Δx) и f(x):
(x² + 2x Δx + (Δx)² - x²)/Δx

Упростим (x² и -x² отменяются):
(2x Δx + (Δx)²) / Δx

Упростим еще больше (разделим на Δx):= 2x + Δx
Затем, когда Δx стремится к 0, получаем:= 2x

Результат: производная от x² равна 2x.

Другими словами, наклон в точке x равен 2x.

Решение:

Для нахождения производной заданной функции f(x), применим правило мощности и правило суммы дифференцирования.

Возьмем производную каждого члена отдельно.

• Для 3x² производная будет 2*3x^2-1 = 6x.
• Для 2x² производная будет 2.

Объединим производные, используя правило суммы. Производная от f(x)=3x²+2x-1 равна f'(x)=6x+2.

Решение:

Для нахождения производной заданной функции g(x), воспользуемся правилом мощности и правилом дифференцирования взаимно обратных функций.

Возьмем производную каждого члена отдельно.

• Для √x можно записать в виде x^1/2. Производная имеет вид 1/2x-^1/2.
• Для 1/x, производная будет -1/x².

Объединим производные, используя правило суммы.
Производная от g(x)= √x+(1/x) равна g'(x) = 1/2x-^1/2 - 1/x².

Решение: Для нахождения производной функции f(x) применим правило производных. Если мы имеем функцию вида \(f(x) = x^n\), то ее производная дается в виде \(f'(x) = nx^(n-1)\).

\(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)

\(f'(x) = d/dx (3x^2) + d/dx (2x) - d/dx (5)\)
\(f'(x) = 2 * 3x^(2-1) + 2 * 1x^(1-1) - 0\) (так как производная от константы равна нулю)
\(f'(x) = 6x + 2\)

Таким образом, производная функции \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\) равна f'(x) = 6x + 2.

Решение:

Для нахождения производной функции g(x) воспользуемся производными тригонометрических функций.

g(x) = sin(x) + cos(x)
g'(x) = d/dx (sin(x)) + d/dx (cos(x))
g'(x) = cos(x) - sin(x)

Таким образом, производная функции g(x) = sin(x) + cos(x) равна g'(x) = cos(x) - sin(x).

Решение:

Для нахождения производной функции h(x) воспользуемся цепным правилом. Правило цепочки гласит, что если у нас есть функция вида f(g(x)), то ее производная дана в виде f'(g(x)) * g'(x).

\(h(x) = e^(2x)\)
\(h'(x) = d/dx (e^(2x))\)
\(h'(x) = e^(2x) * d/dx (2x)\)
\(h'(x) = e^(2x) * 2\)

Таким образом, производная функции \(h(x) = e^(2x) равна h'(x) = 2e^(2x).\)