Преобразование алгебраических выражений

Что значит преобразование рациональных выражений

Выражениям и дробным числам из множества рациональных значений уделяют особое внимание в алгебраической науке. Навыки работы с подобными соотношениями позволяют значительно упрощать решение задач из разных дисциплин, сокращать объем расчетов при поиске той или иной величины. Изучение темы следует начать с формулировки основного понятия.

Правила преобразования, формулы

Согласно озвученному определению целесообразно записать пошаговую инструкцию, которая пригодится при решении задач на поиск ответов к рациональным выражениям. Порядок шагов следующий:

• выполнение вычислений с членами в скобках;
• произведение числовых значений или возведение в заданную степень;
• нахождение частного от деления чисел;
• суммирование или вычитание.

В процессе использования зафиксированной последовательности необходимо корректно применять формулы для сокращенного умножения. Такой подход допустим в случае работы с рациональными соотношениями и дробными выражениями. Исключить ошибки в вычислениях поможет знание нескольких основных правил:

• разложение записанных в начальном варианте выражения знаменателей и числителей следует выполнять с применением формул сокращенного умножения или с помощью определения дискриминанта;
• одновременно с поиском возможностей для использования закономерностей упрощенного умножения требуется перевести компоненты записи в наибольшую из допустимых в конкретной ситуации степеней с последующим вынесением за знаки скобок общей степени;
• при появлении новых переменных в результате выполняемых преобразований нужно вычислить неизвестные, прибегая к формуле квадратного разложения;
• формирование на каком-либо из этапов расчетов рационального дробного числа позволяет перейти к разложению числителя и знаменателя на множители в формате линейных выражений с использованием формул краткого умножения или расчета дискриминанта.

Перечислим формулы сокращенного умножения, которые существенно уменьшают количество вычислений в процессе выполнения преобразования рационального выражения:

• разность квадратов \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\);
• квадрат суммы \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\);
• квадрат разности \({{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\);
• сумма кубов \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\);
• разность кубов \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\).

Примеры решения задач

Решение

Воспользуемся знакомой из теоретического материала последовательностью действий. На первом этапе целесообразно проанализировать заданное выражение. Необходимо обнаружить квадратные записи и компоненты с наибольшими степенями. По итогам анализа допустимо использовать записанные ранее формулы. Исследуем исходное выражение и выполним некоторые преобразования:

\(9{{y}^{4}}={{3}^{2}}\cdot {{y}^{4}}={{3}^{2}}\cdot {{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 3{{y}^{2}} \right)}^{2}}\)

\(16{{x}^{2}}={{2}^{4}}\cdot {{x}^{2}}={{\left({{2}^{2}} \right)}^{2}}\cdot {{x}^{2}}={{\left({{2}^{2}}\cdot x \right)}^{2}}={{\left( 4{{x}^{2}} \right)}^{2}}\)

Трансформируем первоначальную запись с учетом сделанных выводов и сформулируем окончательный ответ к заданию:

\(\frac{4x+3{{y}^{2}}}{{{\left( 3{{y}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 4x \right)}^{2}}}=\frac{4x+3{{y}^{2}}}{\left( 3{{y}^{2}}-4x \right)\left( 3{{y}^{2}}+4x \right)}=\frac{1}{3{{y}^{2}}-4x}\)

Ответ: \(\frac{4x+3{{y}^{2}}}{9{{y}^{4}}-16{{x}^{2}}} = \frac{1}{3{{y}^{2}}-4x}.\)

Решение

По аналогии с предыдущим примером обратимся к стандартной инструкции определения ответа к рациональным выражениям. Трансформируем исходную запись таким образом, чтобы по возможности выполнить разложение всех слагаемых. Получим следующее соотношение:

\(4{{x}^{2}}={{2}^{2}}\cdot {{x}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}\)

\(6xy=2\cdot 3\cdot x\cdot y=2x\cdot 3y\)

\(9{{y}^{2}}={{3}^{2}}\cdot {{y}^{2}}={{\left( 3y \right)}^{2}}\)

\(8{{x}^{3}}={{2}^{3}}\cdot {{x}^{3}}={{\left( 2x \right)}^{3}}\)

\(27{{y}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{y}^{3}}={{\left( 3y \right)}^{3}}\)

На второй стадии вычислений целесообразно применить вышеизложенные выводы к начальному выражению. Сделаем все необходимые преобразования и запишем итоговый результат:

\(\frac{{{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{{{\left( 3y \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}}{{{\left( 2x \right)}^{3}}+{{\left( 3y \right)}^{3}}}= \frac{{{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{\left( 3y-2x \right)\left( 3y+2x \right)}{\left( 2x+3y \right)\left( {{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}} \right)}=-1\)

Ответ: \(\frac{4{{x}^{2}}-6xy+9{{y}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{9{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}}{8{{x}^{3}}+27{{y}^{3}}} = -1.\)

Решение

Проанализируем дробное выражение из условия задания. Ошибочно начинать процесс расчетов с сокращения записанных дробей, несмотря на тот факт, что компоненты в числителях обладают сходством с формулами для вычисления полных квадратов знаменателей, которые им соответствуют. В рассматриваемом примере на первом этапе следует проверить озвученное предположение. Преобразуем выражения, расположенные над дробной чертой в первом и во втором случае:

\((3х-у)^{2}=9х^{2}-2\cdot 3ху+у^{2} = 9х^{2}-6ху+у^{2} \neq 9х^{2}-3ху+у^{2}\)

\((3х+у)^{2}=9х^{2}+2\cdot 3ху+у^{2} = 9х^{2}+6ху+у^{2} \neq 9х^{2}+3ху+у^{2}\)

Исходя из записанных алгебраических неравенств, допустимо сделать вывод о несоответствии числителей из начальной рациональной записи полным квадратам по причине отсутствия обязательного элемента в виде двойного произведения. Подобную ошибку часто допускают в процессе работы с рациональными дробными значениями. Дополнительная проверка на первом этапе позволит исключить неточности в дальнейших вычислениях.

Так как сократить запись не представляется возможным, нужно суммировать дроби. Заметим, что не получится подобрать общие множители для знаменателей, поэтому следует выполнить взаимное умножение и найти значение минимального знаменателя для этих дробных чисел. В качестве сопутствующего множителя справедливо выбрать знаменатель другой дроби. Представим перечисленные действия в виде следующего соотношения:

\(\frac{9х^{2}-3ху+у^{2}}{3х-у}+\frac{9х^{2}+3ху+у^{2}}{3х+у} = \frac{(9х^{2}-3ху+у^{2})(3х+у) +(9х^{2}+3ху+у^{2})(3х-у)}{(3х-у)(3х+у)}\)

С целью сокращения количества расчетных операций целесообразно распознать на месте первого слагаемого в числителе формулу для вычисления суммы кубов. Следующее за ним слагаемое представляет собой разность кубов. Сформулируем стандартные формулы для определения озвученных закономерностей:

\({{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\)

\({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\)

Преобразуем компоненты, записанные над дробной чертой с учетом вышеуказанных соотношений:

\((9х^{2}-3ху+у^{2})(3х+у) = ((3х)^{2}-3ху+у^{2})(3х+у) = ((3х)^{3}+у^{3})\)

После преобразования второго слагаемого в знаменателе аналогичным способом допустимо упростить начальное соотношение из множества рациональных выражений и записать итоговый результат расчетов:

\(\frac{(9х^{2}-3ху+у^{2})(3х+у) +(9х^{2}+3ху+у^{2})(3х-у)}{(3х-у)(3х+у)} = \frac{27х^{3}+у^{3}+27х^{3}-у^{3}}{(3х-у)(3х+у)} = \frac{54х^{3}}{(3х-у)(3х+у)} = \frac{54х^{3}}{9х^{2}-у^{2}}\)

Ответ: \(\frac{9х^{2}-3ху+у^{2}}{3х-у}+\frac{9х^{2}+3ху+у^{2}}{3х+у} = \frac{54х^{3}}{9х^{2}-у^{2}}.\)

Решение

Заметим, что по условию примера выражение составлено из нескольких дробных соотношений. На первой стадии вычислений целесообразно приступить к рассмотрению каждой из дробей по порядку:

\(3-6x=3\left( 1-2x \right)\)

\(2{{x}^{2}}+4x+8=2\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)\)

\({{x}^{2}}+4-4x={{x}^{2}}-4x+2={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}\)

\(8-{{x}^{3}}={{2}^{3}}-{{x}^{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)\)

\(4{{x}^{2}}-1={{2}^{2}}\cdot {{x}^{2}}-{{1}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}-{{1}^{2}}=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\)

Выполним соответствующие преобразования исходного выражения и запишем ответ:

\(\frac{3\left( 1-2x \right)}{2\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\frac{3\cdot \left( -1 \right)}{2\cdot \left( x-2 \right)\cdot \left( -1 \right)}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}\)

Ответ: \(\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}.\)

Решение

Заметим, что решение подобной задачи уже было выполнено. В данном случае без дополнительных проверок очевидно присутствие неполных квадратов над дробной чертой в записанных выражениях. Исходя из сделанного вывода, нельзя выполнить сокращение на первом шаге алгоритма преобразования рациональных дробных чисел. Целесообразно приступить сразу к суммированию дробей:

\(\frac{a^{2}-аb+b^{2}}{а-b}+\frac{a^{2}+аb+b^{2}}{а+b} = \frac{( а+b )(a^{2}-аb+b^{2})+ (а-b)( a^{2}+аb+b^{2})}{(а-b)(а+b)} = \frac{a^{3}+b^{3}+ a^{3}-b^{3}}{(а-b)(а+b)} = \frac{2a^{3}}{а^{2}-b^{2}}\)

Ответ: \(\frac{a^{2}-аb+b^{2}}{а-b}+\frac{a^{2}+аb+b^{2}}{а+b} = \frac{2a^{3}}{а^{2}-b^{2}}.\)

Решение

На первой стадии следует проанализировать записанные слагаемые в составе исходного соотношения. Начнем с первого дробного выражения:

\(27{{a}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{a}^{3}}={{\left( 3a \right)}^{3}}\)

\(64{{b}^{3}}={{2}^{6}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{3}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( {{2}^{2}}\cdot b \right)}^{3}}={{\left( 4b \right)}^{3}}\)

\({{\left( 3a \right)}^{3}}-{{\left( 4b \right)}^{3}}=\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)\)

\({{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)\)

Далее приступим к следующей дробной записи:

\(9{{a}^{2}}={{3}^{2}}\cdot {{a}^{2}}={{\left( 3a \right)}^{2}}\)

\(16{{b}^{2}}={{4}^{2}}\cdot {{b}^{2}}={{\left( 4b \right)}^{2}}\)

\(12ab=3\cdot 4ab=3a\cdot 4b\)

Заметим, что значение над дробной чертой во втором случае целесообразно представить таким способом:

\({{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}\)

На следующем шаге нужно перейти к анализу выражения, расположенного под чертой дробного числа:

\({{b}^{2}}+4b+4={{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left( b+2 \right)}^{2}}\)

Учитывая представленные выше заключения, полученные путем несложных алгебраических преобразований, выполним некоторые трансформации для начальной записи рационального соотношения и сформулируем окончательный ответ:

\(\frac{\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)}{\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left( b+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}}=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}\)

Ответ: \( \frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}.\)