Преобразование простейших тригонометрических выражений

Что такое тригонометрические выражения

Тригонометрия является одним из наиболее интересных направлений в профильной математической науке. Понятия из данного раздела встречаются в решении задач по алгебре, физике, геометрии. Задания отличаются по степени сложности. Независимо от объема вычислений, знание основных закономерностей и правил работы с тригонометрическими величинами позволяет значительно упростить расчеты и исключить ошибки при записи итоговых ответов к примерам.

В тригонометрии особое внимание уделяют уравнениям. В процессе определения неизвестных и выполнения алгебраических операций применяют тригонометрическую окружность, формулы, принципы перевода градусных мер в радианные и обратные операции. Перед изучением подобных действий необходимо ознакомиться с главным понятием.

Тригонометрические уравнения записывают в разных форматах и конфигурациях. В рассматриваемых записях допустимо наличие единственной или нескольких функций, функциональных зависимостей с отличающимися аргументами. С целью поиска ответа на примеры из тригонометрии обращаются к специальным методикам и приемам. Наиболее популярными из таких способов решения являются использование тождественных выражений, изображение функций на графике, выполнение алгебраических преобразований.

В качестве наглядного примера тригонометрического уравнения можно записать следующее равенство:

\(3\sin(2x)-2\cos(x)^2=0\)

Рассмотрим еще одно выражение:

\(\cos(x)+2x=3\)

Несмотря на очевидное сходство, между представленными записями есть разница. В первом случае в уравнении присутствует только функции синуса и косинуса из тригонометрии. Во втором примере добавлена линейная функция. По этой причине последнее соотношение называют смешанным. Решение таких выражений требует применения большего количества подходов и формул.

Запишем наиболее простые тригонометрические уравнения, которые служат базисом для составления сложных алгебраических записей:

\(\sin(f(x))=a;\)

\(\cos(f(x))=a;\)

\(tg(f(x))=a;\)

\(ctg(f(x))=a.\)

В перечисленных равенствах а обозначает какое-либо число, \(f(x)\) определяет выражение, имеющее зависимость от х. Приведем несколько типичных соотношений, составленных с помощью формата простейших тригонометрических уравнений:

\(\sin(x)=\frac{1}{2}\)

\(\cos(3x)=-1.\)

Что значит преобразовать тригонометрические выражения

В процессе поиска ответов к тригонометрическим уравнениям сложно обойтись без использования тех или иных преобразований. При выполнении шагов по стандартному алгоритму трансформации первоначальной записи в упрощенный вариант наблюдают появление или устранение посторонних корней. Данное явление объясняется рядом тривиальных причин:

• увеличение границ области определения;
• произведение всех компонентов равенства на выражение, содержащее переменную;
• использование по отношению к обеим частям соотношения немонотонной функции.

Вместе с тем удаление лишних корней из тригонометрической записи происходит вследствие:

• уменьшение области определения соотношения;
• деление записей слева и справа от знака равенства на выражение, содержащее переменную;
• устранение из обеих частей тригонометрического уравнения немонотонной функции.

При поиске значений переменных и преобразовании выражений в тригонометрии рекомендуется пренебречь действиями, которые устраняют корни. При этом необходимо на каждой стадии решения проверять сохранность области определения. Исключить посторонние значения корней равенства несложно путем выполнения проверки. С данной целью прибегают к стандартным формулам, упрощающим проверочные действия, так как у рассматриваемого формата уравнений множество корней. Полезно изучить ключевые свойства и специфические особенности тригонометрических функций:

• периодичность анализируемых функциональных зависимостей выражена наличием повторов через заданные интервалы, например для синуса и косинуса эти значения составляют \(2 \pi\);
• ограниченность функций в тригонометрии в верхней и нижней части, к примеру, синус и косинус ограничены в промежутке от -1 до 1;
• симметричность выражена у всех тригонометрических функций, в том числе, для синуса и косинуса, которые определены как четные, симметрия проявляется так, что \(f(-x) = f(x)\) ;
• тождественные уравнения в тригонометрии позволяют оперативно решать громоздкие соотношения с функциями и корректно выполнять преобразования.

Основные правила и формулы

Тождествами называют равенства, соответствующие истине при каких-либо значениях переменных из допустимого диапазона. Запишем тождественные уравнения для функций из тригонометрии:

\(\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\)

\(\sec ^{2}A-{\mathop {\operatorname {tg} } }^{2}A=1\)

\(\csc ^{2}A-{\mathop {\operatorname {ctg} } }^{2}A=1\)

Соотношения, содержащие действия суммирования углов, несложно преобразовать с помощью следующих закономерностей:

\(\sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B\)

\(\cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B\)

\(\mathop {\operatorname {tg} } (A\pm B)={\frac {\mathop {\operatorname {tg} } A\pm \mathop {\operatorname {tg} } B}{1\mp \mathop {\operatorname {tg} } A\ \mathop {\operatorname {tg} } B}}\)

\(\mathop {\operatorname {ctg} } (A\pm B)={\frac {\mathop {\operatorname {ctg} } A\ \mathop {\operatorname {ctg} } B\mp 1}{\mathop {\operatorname {ctg} } B\pm \mathop {\operatorname {ctg} } A}}\)

Рассмотрим одно из простейших тригонометрических выражений:

\(\sin x=a\)

Проанализируем несколько вероятных вариантов решения. Если |a|>1, то можно сделать вывод об отсутствии вещественных корней. При условии, что \(|a|\leqslant 1\) , в качестве решения используют запись такого формата:

\(x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z}\)

Следующее простое уравнение с тригонометрической функцией:

\(\cos x=a\)

В том случае, когда |a|>1, вещественные корни для этого равенства отсутствуют. При выполнении условия \(|a|\leqslant 1\) допустимо сформулировать ответ таким образом:

\(x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z}\)

В задачах по тригонометрии встречаются простейшие выражения с функцией тангенса:

\(\operatorname {tg} \,x=a\)

Искомым значением неизвестной в подобном соотношении является числовая запись:

\(x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z}\)

Аналогично для функции \(\operatorname {ctg} \,x=a\)  решение представляет собой следующее выражение:

\(x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z}\)

В процессе преобразования тригонометрических выражений часто используют метод разложения на множители. Подобный способ трансформации уравнения с функцией из тригонометрии реализован по стандартному алгоритму:

• запись уравнения в формате произведения \(f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot ...\cdot f_n(x)=0\), в котором \( f_i(x)\) обозначают произвольные функции от переменной х, в том числе, тригонометрические;
• найти решения для комплекса равенств  \( \left[ \begin{array}{l l} f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ ...\\ f_n(x)=0\\ \end{array} \right.\)
• объединить вычисленные корни и сформулировать итоговый ответ.

Преобразование тригонометрических соотношений выполняют с помощью метода разложения на множители при наличии знаменателя. Подобные действия реализованы в соответствии с инструкцией:

• запись выражения в виде произведения \(\frac{f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot ...\cdot f_n(x)}{g_1(x)\cdot g_2(x)\cdot ...\cdot g_m(x)}=0\), в котором \(f_i(x), g_i(x)\) являются функциональными зависимостями от х;
• найти корни для смешанной системы с выражениями \(\begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ ...\\ f_n(x)=0\\ \end{array} \right.\\ g_1(x)\ne 0\\ g_2(x)\ne 0\\ ...\\ g_m(x)\ne 0\\ \end{cases};\)
• объединить вычисленные корни для числителя, устранить решения для знаменателя, сформулировать итоговый ответ.

Следующий способ упрощения соотношений с тригонометрическими функциями заключается в записи квадратного уравнения таким образом:

• представить исходное выражение в формате \(af^2(x)+bf(x)+c=0\) с условием, что f(x)обозначает тригонометрическую функцию;
• заменить неизвестные t=f(x);
• найти корни записанного квадратного уравнения \(\begin{gather*} at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \end{gather*}\) ;
• когда f(x) представляет собой синус или косинус, следует выполнить проверку условия.

\(-1\leq t_{1,2}\leq 1\) с целью устранения посторонних корней;

• перейти обратно к начальной переменной и найти решения для комплекса простых тригонометрических равенств \( \left[ \begin{array}{l l} f(x)=t_1\\ f(x)=t_2 \end{array} \right.;\)
• объединить ответы для формулировки окончательного результата.

В процессе преобразования выражений в тригонометрии используют однородные уравнения, то есть соотношения, которые представлены в следующем формате:

\(Asinx+Bcosx=0\)

Порядок действий при реализации озвученного способа:

• деление обеих частей уравнения на cosx таким образом \( \begin{gather*} \frac{Asinx+Bcosx}{cosx}=\frac{0}{cosx}\\ Atgx+B=0\\ tgx=-\frac{B}{A} \end{gather*}\);
• решение преобразованного простого выражения с последующей записью ответа.

Схожим методом работают с однородными тригонометрическими выражениями второй степени, записанными в следующем формате:

\(Asin^2x+Bsinxcosx+Ccos^2x=0\)

Алгоритм решения:

• деление компонентов соотношения, расположенных слева и справа от знака равенства, на \(cos^2x\), то есть \(\begin{gather*} \frac{Asin^2x+Bsinxcosx+Ccos^2x}{cos^2x}=\frac{0}{cos^2x}\\ Atg^2x+Btgx+C=0 \end{gather*};\)
• заменить переменные t=tgx;
• найти корни записанного уравнения с квадратом \(\begin{gather*} at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \end{gather*}\);
• определить значения переменных для системы простых выражений с тригонометрическими функциями \(\left[ \begin{array}{l l} tgx=t_1\\ tgx=t_2 \end{array} \right.\);
• объединить вычисленные результаты для формулировки ответа.

Посредством использования дополнительного угла преобразуют тригонометрические соотношения формата asinx+bcosx=c. С этой целью нужно выполнить деление всех частей уравнения на \(p=\sqrt{a^2+b^2}\). Получим:

\(\begin{gather*} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gather*}\)

На следующем шаге следует ввести вспомогательный угол \alpha с учетом выполнения условия:

\(\begin{gather*} sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \ cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gather*}\)

Затем целесообразно использовать подстановку:

\(\begin{gather*} sin\alpha sinx +cos\alpha cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ cos(x-\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ x-\alpha=\pm arccos\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}+2\pi k \end{gather*}\)

В результате решение примет такой вид:

\(x=\alpha\pm arccos\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}+2\pi k\)

Записанное соотношение справедливо при выполнении условия:

\(|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1\)

Перечислим другие популярные методики преобразования и поиска неизвестных для тригонометрических выражений:

• преобразование суммирования функциональных зависимостей \( \begin{gather*} Asinax+Bsinbx+...+Ccoscx+Dcosdx+...=0 \end{gather*}\) для получения произведения с последующим разложением на множители;
• перевод произведения функций тригонометрии \(\begin{gather*} sinax\cdot cosbx=sincx\cdot cosdx,\ \ sinax\cdot sinbx=sincx\cdot cosdx\ \ \text{и т.п.} \end{gather*}\);
• в случае работы с выражениями формата \(\begin{gather*} sin^2ax+sin^2bx+...+cos^2cx+cos^2dx+...=A \end{gather*}\) применяют уменьшение степени с помощью формул \( \begin{gather*} sin^2x=\frac{1-cos2x}{2},\ \ cos^2x=\frac{1+cos2x}{2} \end{gather*};\) 
• замена переменных по схеме \(\begin{gather*} t=cosx\pm sinx \end{gather*}\) в соотношениях, записанных в виде \(f(sinx\pm cosx,\ sinxcosx)=0.\)

Примеры решения задач

Решение

Воспользуемся правилами преобразования тригонометрических соотношений для поиска значения переменной. Составим следующую систему:

\(\begin{gather*} 2cosx cos2x-cosx=0\\ cosx(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin{array} {l l} cosx=0\\ 2cos2x-1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ cos2x=\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end{array} \right. \end{gather*}\)

Заметим, что по итогам вычислений получены комплексы выражений, образующие множество из шести основных точек на координатной окружности с интервалом:

\(60^{\circ}=\frac\pi3\)

Исходя из вышесказанного,  найдем искомое значение и сформулируем ответ:

\(\begin{gather*} \left[ \begin{array} {l l} x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{3} \end{gather*}\)

Ответ: \(\frac\pi6+\frac{\pi k}{3}.\)

Решение

На первом этапе целесообразно проанализировать записанное в условии задания соотношение. Вид, в котором представлено выражение, соответствует примеру из теоретического материала с алгоритмом замены. Запишем подходящее уравнение:

\(sin^2x=1-cos^2x\)

Применим сформулированное условие к начальному равенству и перепишем его таким образом:

\(\begin{gather*} 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\\ -3cos^2x+10cosx-3=0\\ 3cos^2x-10cosx+3=0\\ \text{Замена:}\ t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\\ 3t^2-10t+3=0\\ D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=64\\ t=\frac{10\pm 8}{6}= \left[ \begin{array} {l l} \frac13\\ 3\gt 1 - \text{не подходит} \end{array} \right. \end{gather*}\)

Остается найти корни преобразованного уравнения:

\(cosx=\frac13\Rightarrow x=\pm arccos\frac13+2\pi k\)

Ответ: \(\pm arccos\frac13+2\pi k.\)

Решение

Исследуем формат записи уравнения из условия задания. Заметим, что формулировка соответствует однородному тригонометрическому соотношению. Применим пошаговую инструкцию для решения подобных примеров. Начать стоит с деления обеих частей равенства на cosx. В результате действия получим:

\(tgx+1=0\Rightarrow tgx=-1\Rightarrow x=-\frac\pi4+\pi k\)

Ответ: \( -\frac\pi4+\pi k.\) 

Решение

В данном случае аналогично предыдущему примеру предстоит работать с однородным типом уравнений. Выполним соответствующие преобразования с целью исключения тройки с правой стороны путем умножения на тригонометрическую единицу. Запишем последовательно действия:

\(\begin{gather*} 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0\ |:\ cos^2x\\ 3tg^2x-tgx-4=0\\ \text{Зaмена:}\ t=tgx\\ 3t^2-t-4=0\\ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49\\ t=\frac{1\pm 7}{6}= \left[ \begin{array}{l l} -1\\ \frac43 \end{array} \right. \end{gather*}\)

На заключительном этапе остается найти решения для образованной системы:

\(\left[ \begin{array}{l l} tgx=-1\\ tgx=\frac43 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg\frac43+\pi k \end{array} \right.\)

Ответ: \(-\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg\frac43+\pi k.\)