Преобразования числовых логарифмических выражений

Что такое логарифмические выражения

Логарифм положительного действительного числа a относительно основания b, положительного действительного числа, не равного 1[nb 1], — это экспонента, на которую нужно увеличить b, чтобы получить a.

т.е. b^y= a ⇔log_ba=y

Где:

a и b — два положительных вещественных числа;
y — вещественное число;
a называется аргументом, который находится внутри логарифма;
b называется основанием, которое находится в нижней части логарифма.

В математике логарифмы — это другой способ записи экспоненты. Логарифм числа с основанием равен другому числу. Это функция, обратная экспоненте.

Например, если 10² = 100, то log₁₀ 100 = 2. Следовательно, мы можем сделать вывод, что Log_b x = n или bⁿ = x, где b — основание логарифмической функции. Это можно прочитать как «Логарифм x по основанию b равен n».

Другими словами, логарифм дает ответ на вопрос: «Во сколько раз нужно умножить одно число, чтобы получить другое?».

Например, сколько раз нужно перемножить 3, чтобы получить ответ 27? Если мы умножим 3 на 3, то получим ответ 27. Следовательно, логарифм равен 3.

Форма записывается следующим образом:

Log3 (27) = 3 ....(1)

Таким образом, логарифм 27 по основанию 3 равен 3.

Приведенную выше форму логарифма можно также записать в виде:

• 3x3x3 = 27;
• 33 = 27 .....(2).

Таким образом, уравнения (1) и (2) отражают одно и то же значение.

Что значит преобразование выражений, содержащих логарифмы

Преобразование выражений означает упрощение или изменение формы этих выражений с использованием свойств логарифмов. Цель таких преобразований может быть разной: от упрощения математических выражений до нахождения более удобной формы для дальнейшего анализа.

Правила преобразования, формулы

Ниже приведены примеры преобразования экспоненциальных форм в логарифмы.

 

Свойства основания логарифма

Прежде чем перейти к свойствам логарифма, необходимо изучить закон экспоненты, чтобы можно было сравнить свойства.

Для экспоненты существуют следующие законы:

1. Правило произведения: Умножение внутри логарифма можно превратить в сложение вне логарифма, и наоборот. a^m.aⁿ=a^m+n
2. Свойство частного: Деление внутри логарифма может быть превращено в вычитание вне логарифма, и наоборот. a^m/aⁿ = a^m-n
3. Свойство степени: Экспонента на все внутри логарифма может быть вынесена вперед в качестве множителя, и наоборот. (a^m)ⁿ = ^mn.

Некоторые распространенные свойства логарифмических функций, которые могут использоваться при преобразовании выражений:

Свойство произведения

Если a, m и n — целые положительные числа и a ≠ 1, то;

log_a(mn) = log_am + log_an

Таким образом, log двух чисел m и n с основанием a равен сумме log m и log n с тем же основанием a.

Пример: log₃(9.25)

= log₃(9) + log₃(27)

= log₃(32) + log₃(33)

= 2 + 3 (По свойству: log_b b^x = x) = 5.

Правило деления

Деление двух логарифмических величин равно разности каждого логарифма.

Log_b (m/n)= log_b m – log_b n

Например, log₃ ( 2/ y ) = log₃ (2) -log₃ (y).

Правило экспоненты

По правилу экспоненты логарифм m с рациональной экспонентой равен экспоненте, умноженной на ее логарифм.

Log_b (mⁿ) = n log_b m

Пример: log_b(2³) = 3 log_b 2.

Правило степени

Если a и m — положительные числа, a ≠ 1 и n — действительное число, то;

log_amⁿ = n log_am

Приведенное выше свойство определяет, что логарифм положительного числа m в степени n равен произведению n и log m.

Пример: log₂10³ = 3 log₂10.

Свойство частного

Если m, n и a — целые положительные числа и a ≠ 1, то:

log_a(m/n) = log_am – log_an.

В приведенном выше выражении логарифм дроби двух положительных чисел m и n получается как разность log m и log n с тем же основанием a.

Пример: log₂(21/8)

log₂(21/8) = log₂ 21 – log₂ 8.

Правило изменения основания

Если m, n и p — положительные числа и n ≠ 1, p ≠ 1, то:

log_n m = log_p m/log_p n

Пример: log₂ 10 = log_p 10/log_p 2.

Правило обратного значения

Если m и n — положительные числа, отличные от 1, то:

log_n m = 1/log_mn

Пример: log₂ 10 = 1/log₁₀ 2.

Производная от log

Если f (x) = log_b (x), то производная f(x) дается;

f'(x) = 1/(x ln(b))

Пример: Дано f (x) =  log₁₀ (x)

Тогда f'(x) = 1/(x ln(10)).

Интеграл от логарифма

∫log_b(x)dx = x( log_b(x) – 1/ln(b) ) + C

Пример: ∫ log₁₀(x) dx = x ∙ ( log₁₀(x) – 1 / ln(10) ) + C.

Некоторые другие свойства логарифмических функций:

Logb b = 1;
Logb 1 = 0;
Logb 0 = неопределено.

Логарифмические формулы

log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n);

log_b(m/n) = log_b (m) – log_b (n);

Log_b (xy) = y log_b(x);

Log_bm√n = log_b n/m;

log_b(m+n) = log_b m + log_b(1+nm);

m log_b(x) + n log_b(y) = log_b(x^myⁿ);

log_b(m – n) = log_b m + log_b (1-n/m).

Виды

1. Обычный логарифм также называют логарифмом по основанию 10. Он обозначается как log10 или просто log. Например, общий логарифм 1000 записывается как log (1000). Общий логарифм определяет, сколько раз нужно умножить число 10, чтобы получить требуемый результат.

Например, log (100) = 2

Если мы умножим число 10 дважды, то получим результат 100.

2. Натуральный логарифм называется логарифмом по основанию e. Обозначается как ln или loge. Здесь «e» означает постоянную Эйлера, которая приблизительно равна 2,71828. Например, натуральный логарифм числа 78 записывается как ln 78. Натуральный логарифм определяет, на сколько нужно умножить «e», чтобы получить требуемый результат.

Например, ln (78) = 4,357. Таким образом, логарифм 78 по основанию e равен 4,357.

Примеры решения задач

Ответ: log₂(8⋅4)=log₂(32)=log₂(25)=5.

Решение:
Используем свойство суммы логарифмов для первых двух членов:
log₃(5)+log3₃(8)=log₃(5⋅8)=log₃(40)

Это сокращает наше первоначальное выражение до: log₃(40)-log₃(2).

Затем используем свойство разности логарифмов: log₃(40)−log₃(2)=log₃(40/2)=log₃(20).

Решение: Так как 2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64, то 6 — значение экспоненты и log₂ (64)= 6.

Решение: По правилу сложения:  log₃ 4+ log₃ 7= log ₃ (4 * 7 )

Log ₃ ( 28 ). Таким образом, x= 28.

Решение: Для первого члена мы можем использовать свойство экспоненты логарифмов, чтобы записать: 2log(5)=log(5²)=log(25).

Сведя выражение к сумме двух логарифмов log(25) + log(4), мы можем воспользоваться свойством суммы логарифмов: log(25)+log(4)=log(4⋅25)=log(100)

Поскольку 100=10², мы можем оценить этот логарифм без калькулятора:

log(100)=log(10²)=2.

Решение: Используя свойство Log_b (m/n)= log_b m – log_b n

log₅ (1/25) = log₅ 1 – log₅ 25

log₅ (1/25) = 0 – log₅ 5²

log₅ (1/25) = -2log₅5

log₅ (1/25) = -2 (1) [Используя свойство loga a = 1)

Следовательно, значение log₅ (1/25) = -2.

Решение: Логарифмическая форма log_aN=x. Если перевести в экспоненциальную форму, то a^x=N.

Логарифмическая форма log₇343 = 3 переведена в экспоненциальную форму, то
7³=343.

Решение: log₃ 81 = 4 ⇒ 34 = 81, что является требуемой формой экспоненты.

(ii) log₈ 32 = 5/3

Решение: log₈ 32 = 5/3 ⇒ 85/3 = 32

(iii) log₁₀ 0,1 = -1

Решение: log₁₀ 0,1 = -1 ⇒ 10-1 = 0.1.