Приведение дробей к общему знаменателю

Общий знаменатель обыкновенных дробей

Любые дроби с разными знаменателями в математике можно привести к одному и тому же общему знаменателю — заменить на равные им дроби с одинаковым знаменателем.

Есть два вида знаменателей:

1. Общий — их существует бесконечное множество для любых двух и более дробей.
2. Наименьший общий — для любых двух и более дробей такой знаменатель есть лишь один.

Производить данную операцию необходимо в ряде случаев.

1. При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями. При умножении, делении и возведении в степень это необязательно.
2. Для сравнения дробей, поскольку это значительно упрощает операцию.
3. При решении задач с дробными выражениями: например, задач на доли или проценты.

Как привести дроби к общему знаменателю, алгоритм

Чтобы осуществить операцию приведения, необходимо применить основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, дробь не изменится. То есть если подобрать правильные множители, то можно привести знаменатели к одному и тому же числу. Искомые множители называют дополнительными.

Это объяснение лежит в основе общего правила приведения дробей.

1. Найти общий знаменатель.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого необходимо разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.
3. Умножить обе части дроби на дополнительный множитель.

Существует несколько способов привести дроби к общему или наименьшему общему знаменателю.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой способ — умножение «крест-накрест». Применяется следующий пошаговый алгоритм:

1. Умножить первую дробь на знаменатель второй дроби.
2. Умножить вторую дробь на знаменатель первой дроби.
3. При возможности — сократить получившиеся выражения.

\(\frac ab^{(d},\frac cd^{(b}=\frac{ad}{bd},\frac{cb}{bd}\)

Метод общих делителей

Иногда один из знаменателей дроби уже делится на другой без остатка. В таком случае нет нужды перемножать их, количество действий сокращается.

1. Поделить больший знаменатель на меньший. Результат деления — это искомый дополнительный множитель.
2. Умножить дробь с меньшим знаменателем на дополнительный множитель. Другую дробь умножать ни на что не нужно.

\(\frac ab^{(x},\frac c{bx}=\frac{ax}{bx},\frac c{bx}\)

Этот метод хорош тем, что является более кратким вариантом умножения «крест-накрест». При этом его невозможно использовать при решении примеров, в которых числа в знаменателях не делятся друг на друга.

Метод наименьшего общего кратного

Суть приведения заключается в том, чтобы найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. К этому числу и необходимо привести знаменатели обеих дробей.

Иногда найти НОК можно «на глаз», не выполняя дополнительных расчетов. К примеру, НОК (6; 9) = 18. Однако иногда на это может понадобиться больше времени. Описание примера таких вычислений приведено в примерах решения задач ниже.

Таким образом, основное преимущество это метода заключается в краткости вычислений. При этом его недостатком является сложность нахождения НОК в некоторых случаях.

Примеры задач с подробным решением

Задача

Вычислить значение выражения \(\frac45-\frac8{15}\).

Решение

Для начала применим метод «крест-накрест». Тогда:

\(\frac45^{(15}-\frac8{15}^{(5}=\frac{60}{75}-\frac{40}{75}=\frac{20}{75}\)

Получившуюся дробь можно сократить на 5:

\(\frac{20}{75}=\frac4{15}\)

Однако решение можно сократить, применив метод общих делителей. 15 делится на 5 без остатка. При таком делении дополнительным множителем для первой дроби будет число 3:

\(\frac45^{(3}-\frac8{15}=\frac{12}{15}-\frac8{15}=\frac4{15}\)

Ответ: \(\frac4{15}\).

Задача

Вычислить значение выражения \(\frac3{15}+\frac6{20}\).

Решение

Решить эту задачу методом общих делителей невозможно, ведь 20 не делится без остатка на 15. При этом оба числа являются большими:

\(20\cdot15=300\)

Вычисление методом «крест-накрест» будет слишком большим.

Оптимальным вариантом решения является метод наименьшего общего кратного.

Число 15 можно представить как \(15=5\cdot3\). Число 20 можно представить как \(20=5\cdot4\).

Множитель 5 является общим для обоих выражений, а числа 3 и 4 взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме \(\pm1\). Тогда:

\(НОК (15; 20) = 5\cdot3\cdot4=60\)

При делении 60 на знаменатели обеих дробей получаются дополнительные множители 4 и 3. Используем их для вычислений:

\(\frac3{15}^{(4}+\frac6{20}^{(3}=\frac{12}{60}+\frac{18}{60}=\frac{30}{60}\)

Получившуюся дробь можно сократить на 30:

\(\frac{30}{60}=\frac12\)

Ответ: \(\frac12\)