Геометрическая фигура призма: виды, свойства, элементы

Что такое призма

В жизни человека окружает множество геометрических фигур. Навыки определения их параметров являются полезными. В случае каждого объекта предусмотрены определенные правила и закономерности, которые значительно упрощают решение прикладных и теоретических задач. Одной из сложных и интересных фигур с точки зрения науки геометрии считают призму. Задания на вычисление сторон, площади, объема и прочих характеристик подобного объекта часто попадаются в контрольных и самостоятельных работах. Начнем с основного понятия этого геометрического объекта.

Разобраться со сформулированным определением достаточно сложно. По этой причине целесообразно трансформировать определение в графический рисунок. На изображении, представленном ниже, расположена четырехугольная призма. По-другому этот объект принято именовать параллелепипедом.

 

Источник: microexcel.ru

Виды

Ранее была рассмотрена одна из самых простых разновидностей призмы. Существуют и другие конфигурации данного геометрического объекта. Ознакомимся с распространенными типами фигур, в основании которых треугольник. Начнем с прямой призмы. Таковой является объект с боковыми гранями, которые перпендикулярны относительно основания. Высота в прямой призме соответствует по величине ребру, расположенному сбоку. Ниже представлена типичная прямая призма.

 

Источник: microexcel.ru

Выделяют в отдельную категорию следующую разновидность призмы, называемой наклонной. В отличие от предыдущего типа геометрического объекта здесь предусмотрено другое расположение боковых граней относительно оснований. Рассматриваемые отрезки не перпендикулярны относительно друг друга, а находятся под каким-либо углом.

 

Источник: microexcel.ru

Как можно догадаться из названия, в основаниях правильной призмы расположены правильные многоугольники. В то же время этот геометрический объект способен обладать признаками прямой или наклонной фигуры. Представим на рисунке ниже описанную форму для наглядности:

 

Источник: microexcel.ru

Существует вид призмы, который получен путем некоторых действий. Так, например, при пересечении геометрического объекта какой-либо плоскостью, остается отдельный фрагмент, которому также свойственно определенная форма. Если используемая в процессе плоскость расположена не параллельно по отношению к основаниям призмы, то в результате получается ее часть, которую называют усеченной призмой. Как и в предыдущем примере, полученный путем несложных построений объект может быть отнесен к формату прямой или наклонной призмы. На рисунке для лучшего восприятия изображены оба варианта.

 

Источник: microexcel.ru

Свойства

Геометрическая фигура, которая обладает всеми признаками призмы, имеет ряд полезных свойств. Такие положения определены закономерностями, связывающими элементы объекта. Путем изучения оснований, сторон, граней и других составных компонентов призмы были получены комбинации, позволяющие значительно упростить расчеты характеристик рассматриваемой геометрической фигуры. Перечислим основные свойства и сопроводим их наглядными изображениями для того, чтобы упростить понимание механизма реализации и применения на практике.

Проанализировать характерные для призмы свойства удобно на примере шестиугольного прямого объекта. Стоит отметить, что описанные ниже закономерности не являются индивидуальными, а имеют универсальный характер применения, то есть подходят для исследования и вычисления параметров любой призмы, независимо от ее разновидности. Начнем с равенства оснований призмы, которые являются многоугольниками.

 

Источник: microexcel.ru

Если ориентироваться на обозначения, сопровождающие рисунок выше, то получим справедливое равенство:

\(ABCDEF = A _{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}\)

Следующее свойство, характерное ля призмы, заключается в форме граней, расположенных по бокам геометрического объекта. Данные грани являются параллелограммами. Обратимся вновь к ранее представленному изображению и перечислим соответствующие параллелограммы: \(AA_{1}B_{1}B, BB_{1}C_{1}C, CC_{1}D_{1}D, DD_{1}E_{1}E, EE_{1}F_{1}F и AA_{1}F_{1}F.\)

Другое полезное свойство призмы заключается в равенстве и взаимной параллельности всех боковых ребер геометрического объекта. Подобную закономерность стоит запомнить, так как это положение часто применяют в процессе решения разнообразных задач в курсе геометрии. Обозначим на графическом рисунке элементы призмы, о которых идет речь, и запишем корректное уравнение для описания примера.

 

Источник: microexcel.ru

\(AA_{1} = BB_{1} = CC_{1} = DD_{1} = EE_{1} = FF_{1}\)

\(AA_{1} \parallel BB_{1} \parallel CC_{1} \parallel DD_{1} \parallel EE_{1} \parallel FF_{1}\)

Еще одно важное свойство призмы заключается в расположении перпендикулярного сечения. Такая плоскость перпендикулярна относительно всех боковых граней и ребер геометрического объекта. Ознакомиться с прикладным применением данной характеристики можно на изображении ниже:

 

Источник: microexcel.ru

Следующая полезная закономерность состоит в соотношении между высотой и величиной бокового ребра. В какой-либо призме, являющейся наклонной, высота в любом случае будет меньше по сравнению с размером ребра, расположенного сбоку геометрической фигуры. Другая ситуация характерна для прямой призмы. В таком объекте высота по величине соответствует ребру.

 

Источник: microexcel.ru

Обращаясь к рисунку выше, допустимо сформулировать справедливые соотношения на примере элементов прямой и наклонной призмы соответственно:

\(h = AA_{1}\)

\(h < AA_{1} \)

Элементы

Перед тем, как приступить к разбору и решению геометрических задач, следует разобраться с терминологией. Введем понятия для всех основных компонентов призмы. Сделать это целесообразно, используя рисунок, представленный ниже:

Источник: microexcel.ru

Перечислим элементы геометрического объекта, сопровождая их соответствующими расшифровками:

1. Основания имеют форму одинаковых многоугольников. В соответствии с форматом таких фигур определяют тип призмы. На рисунке выше представлен геометрический объект, обладающий основаниями в форме параллелограммов, а именно ABCD и \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}1\).
2. Боковые грани в данном примере изображены как параллелограммы и обозначены за \(AA_{1}B_{1}B, BB_{1}C_{1}C, CC_{1}D_{1}D и AA_{1}D_{1}1D\).
3. Боковое ребро является отрезком, с помощью которого соединены соответствующие друг другу вершины разных оснований \((AA_{1}, BB_{1}, CC_{1} и DD_{1})\). Боковое ребро играет роль единой стороны прилегания пары боковых граней.
4. Высота h представляет собой перпендикулярный отрезок прямой, обозначающий расстояние между парой оснований. Когда ребра по бокам призмы перпендикулярны рассматриваемым основаниям, считают, что такие ребра приобретают смысл высот геометрической фигуры.
5. Диагональ основания изображена в виде отрезка, соединяющего пару вершин, расположенных друг напротив друга на едином основании. На изображении диагонали обозначены отрезками \(AC, BD, A_{1}C_{1} и B_{1}D_{1}\). Если речь в задаче идет о треугольной призме, то диагональ отсутствует.
6. Диагональ боковой грани представляет собой отрезок, соединяющий пару вершин, которые расположены напротив друг друга и принадлежат одной грани. В геометрической фигуре, рассмотренной на графическом изображении, роль данных элементов играют отрезки \(CD_{1} и C_{1}D\).
7. Диагональ призмы является отрезком, с помощью которого соединены две вершины, принадлежащие неодинаковым основаниям и разным боковым граням. В качестве примера таких компонентов геометрического объекта можно привести фрагменты прямых \(AC_{1} и B_{1}D\).
8. Поверхность призмы является суммой поверхности пары оснований рассматриваемой фигуры и ее граней, расположенных по бокам.

Площадь поверхности призмы

После того, как сформировано понимание об основных элементах призмы и ее разновидностях, целесообразно перейти непосредственно к способам вычисления параметров геометрической фигуры. Стоит начать изучение с формул для выполнения расчетов и математических соотношений, которые предназначены для определения площади поверхности объекта. Запишем общую формулировку для вычисления площади полной поверхности геометрической фигуры:

\(S_{общ} = S_{бок} + 2S_{осн}\)

Если призма является прямой, то определить площадь боковой поверхности такой фигуры несложно, зная периметр основания и величину высоты:

\(S_{бок} = Р_{осн}\cdot h\)

Далее запишем математические соотношения, выражающие закономерности между элементами правильной треугольной призмы, в основании которой лежит равносторонний треугольник:

Источник: microexcel.ru

\(S_{осн} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

\(S_{бок} = 3аh\)

\(S_{полн} = 3аh + 2\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3} + 6аh}{2}\)

Если в задании по геометрии на расчет площади поверхности призмы речь идет о правильной четырехугольной фигуре с квадратом в основании, то целесообразно воспользоваться следующими формулами. Представим изображение такого геометрического объекта с соответствующими обозначениями и сопроводим рисунок несколькими полезными формулами.

Источник: microexcel.ru

\(S_{осн} = a^{2}\)

\(S_{бок} = 4аh\)

\(S_{полн} = 2a^{2}+ 4аh\)

Рассмотрим следующий случай, который часто встречается в примерах по геометрии. Речь идет о правильной шестиугольной призме, основание которой представлено в виде правильного многоугольника с шестью углами.

Источник: microexcel.ru

\(S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}\)

\(S_{бок} = 6аh\)

\(S_{полн} = 6аh + 2\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2} = 6аh + 3\sqrt{3}a^{2}\)

Вычисление объема

Рассмотрим произвольную призму из числа прямых, правильных или наклонных. Представим изображение на рисунке и обозначим все компоненты такого геометрического объекта.

Источник: microexcel.ru

Вычислить, чему равен объем такой призмы, можно с помощью следующей формулы:

\(V = S_{осн} \cdot h\)

Таким образом, для определения объема геометрического объекта, обладающего всеми признаками любой из перечисленных выше разновидностей призмы, следует найти результат от умножения площади основания и высоты фигуры. С целью расчета первого параметра необходимо рассмотреть многоугольник с четырьмя углами, который обозначен на рисунке за ABCD или EFGH.

Примеры решения задач

Решение

Начнем решение задания с анализа условий. Заметим, что при известных элементах геометрического объекта, можно воспользоваться формулой, в которой они учтены. Остается только подставить численные значения величин, исходя из данной информации, и вычислить искомую площадь:

\(S_{полн} = \frac{6\cdot 6 \cdot 8 + 6^{2}\cdot \sqrt{3}}{2}\approx 175,18\)

Ответ: \(175,18 см^{2}\).

Решение

С формулой для определения площади полной поверхности уже довелось поработать в процессе поиска ответа к предыдущей задаче. Из этой математической закономерности несложно выразить высоту. Запишем соответствующее соотношение и путем подстановки численных значений найдем искомую величину:

\(h = \frac{S_{полн} - 3\sqrt{3}a^{2}}{6a} = \frac{400 - 3\cdot \sqrt{3}\cdot 5^{2}}{6\cdot 5} \approx 9\)

Ответ: 9 см.

Решение

Процесс поиска ответа к этой задаче не вызывает сложностей, если вспомнить основную формулу для вычисления объема призмы. Остается лишь подставить известные по условию задания значения, выполнить простые алгебраические преобразования и записать итоговый результат:

\(V = 14 \cdot6 = 84\)

Ответ: \(84 см^{3}.\)

Решение

В данном случае общая формула для расчета объема призмы также будет полезна. Нужно только выразить с помощью озвученной закономерности высоту:

\(h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{106}{10} = 10,6\)

Ответ: 10,6 см.