Параллелограмм: свойства и признаки

Свойства параллелограмма

1. В данной фигуре противоположные стороны и противоположные углы равны: AB=CD, BC=CD, BC=AD, ∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD.
2. Прилежащие к любой стороне углы в сумме дают 180º.
3. Его диагонали делятся пополам точкой пересечения: AO=OC, OD=OB.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: AC²+BD²=2AB²+2BC².
5. Его диагонали делят его на два равных треугольника.

Признаки параллелограмма

Сформулируем основные ПП и обоснуем их.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник MNOP.

MN и OP — параллельные стороны. Кроме того, OP=MN. NP — диагональ, которая делит рассматриваемую фигуру на два одинаковых треугольника: MNP и ONP. Эти треугольники приравниваются по двум сторонам и углу между ними (так как есть общая сторона NP, MN=OP изначально, а ∠1=∠2, потому что это накрест лежащие углы при секущей NP).

Из этого следует, что ∠3=∠4. Они же являются накрест лежащими при пересечении NO и MP секущей NP. Соответственно, NO и MP параллельны друг другу.

Получаем, что в четырехугольнике MNOP противоположные стороны лежат на параллельных прямых. Тогда данная фигура есть параллелограмм.

Доказательство

Доказажем эту теорему. Возьмем четырехугольник KLMN.

LN — диагональ. Она делит данную геометрическую фигуру на два идентичных треугольника: KLN и MLN. 

Данные фигуры равны между собой по трем сторонам (так как есть общая сторона LN, а KL=MN и LM=KN изначально).

Из этого делаем вывод, что ∠1=∠2.

Из этого следует, что KL параллельна MN.

А так как KL=MN и KL параллельна MN, то по первому признаку параллелограмма KLMN будет считаться параллелограммом.

Доказательство

Возьмем четырехугольник MNOP. Проведем MO и NP — две диагонали, пересекающиеся в точке A и делящиеся ей пополам.

ΔMAN и ΔOAP равны по первому признаку равенства (так как MA=AO, NA=AP изначально, ∠MAN=∠OAP, потому что это вертикальные углы).

Следовательно, MN=OP и ∠1=∠2. Из данного выражения получаем, что MN параллельна OP.

Тогда имеем, что в четырехугольнике MNOP стороны MN и OP равны и параллельны. Делаем вывод, что по первому признаку MNOP будет считаться параллелограммом.