Три признака равенства треугольников

Что значит равенство треугольников

Две фигуры являются равными тогда и только тогда, когда они могут быть полностью наложены друг на друга. Существуют различные условия для доказательства равенства. Фигура имеет шесть измерений — три стороны и три угла, и любое из трех указанных измерений может быть использовано для доказательства равенства.

Источник: natest.ru

Для обозначения конгруэнтности используется символ ≅.

Признаки равенства

Источник: onlinetestpad.com

Первый

Постулат о конгруэнтности треугольников (УСУ) — фигуры конгруэнтны, если любые два угла и входящая в них сторона равны. Входящая сторона — это сторона между двумя углами.

На рисунке выше имеем △ABC и △A1B1C1. Заметим, что ∠A на △ABC равен ∠A1 на △A1B1C1, а ∠B на △ABC равен ∠B1 на △A1B1C1.

Есть включенная сторона между ∠A и ∠B на △ABC, которая равна длине стороны, входящей в треугольник ∠A1 и ∠B1 на △A1B1C1.

В этих двух треугольниках два угла конгруэнтны (равны), а входящая сторона между этими углами конгруэнтна. Таким образом, оставшийся угол △ABC должен быть равен:

180°−∠C−∠A

Это связано с тем, что внутренние углы складываются в 180 градусов. С заданными сторонами и углами можно построить только один треугольник (или его отражение).

Второй

Пожалуй, самый простой из трех постулатов — постулат о боковых сторонах (ССС) — треугольники являются равными, если три стороны одной фигуры равны соответствующим сторонам другой. Это единственный признак, в котором не рассматриваются углы.

Третий

Применяя постулат о боковом угле (УСУ). Здесь вместо выбора двух углов выбирают сторону и соответствующую ей сторону двух треугольников. Признак УСУ утверждает, что треугольники конгруэнтны, если любая пара соответствующих сторон и входящий в них угол конгруэнтны.

Для того чтобы две фигуры в △ABC и △A1B1C1 были конгруэнтны, три части — сторона, входящий угол и смежная сторона — должны быть конгруэнтны тем же трем частям — соответствующим стороне, углу и стороне — в другом треугольнике △YAK.

С помощью этих постулатов можно проверить равенство таких многоугольников, как параллелограмм, квадрат и прямоугольник.

Примеры решения задач

Решение: Определить конгруэнтность в данном случае.

Источник: geeksforgeeks.org

BC = QR = 4 единицы (дано);

CA = RP = 5 единиц (дано);

∠ABC = ∠PQR = 90°.

Теперь по условию конгруэнтности можно сделать вывод, что Δ ABC ≅ Δ PQR.

Решение:

Дано: AB = AC и ∠B = 70°.

∠ B = ∠ C [Углы, противолежащие равным сторонам, равны].

Следовательно, ∠ B = ∠ C = 70°;

Сумма углов в треугольнике = 180°.

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°;

∠ A + 70° + 70° = 180°;

∠ A = 180° - 140°;

∠ A = 40°.

Источник: geeksforgeeks.org

Решение: AC = QR = 5 единиц (дано);

∠BAC = ∠PQR (дано);

BA = PQ = 9 единиц (дано).

Теперь по условию конгруэнтности УСУ можем заключить, что Δ BAC ≅ Δ PQR.

Источник: turito.com

Решение: В ∆ PQR и ∆ PSR,

PQ = PS (дано);

∠QPR = ∠SPR (дано);

PR = PR (общие стороны);

Следовательно, ∆PQR ≅ ∆PSR (по признаку СУС).

Источник: turito.com

Решение: В ∆LMN,

65° + 45° + ∠L = 180°;

110° + ∠L = 180°;

∠L = 180° - 110°;

Следовательно, ∠L = 70°.

Теперь в ∆XYZ и ∆LMN.

∠X = ∠L (дано);

XY = LM (Дано);

XZ = NL (Дано);

Следовательно, ∆XYZ ≅ ∆LMN по постулату равенства СУС.

Источник: turito.com

Решение: Из данного рисунка следует, что ∆ABD ≅ ∆CBD.

Дано: AB = BC и AD = CD.

Доказать, что ∠BEA = ∠BEC = 90° и AE = EC.

Доказательство:

AB = BC (дано);

AD = CD (дано);

BD = BD (общие стороны).

Следовательно, ∆ABD ≅ ∆CBD (по конгруэнтности ССС).

∠ABD = ∠CBD (Соответствующие углы).

Теперь из ∆ABE и ∆CBE;

AB = BC (Дано);

∠ABD = ∠CBD (Соответствующие углы);

BE = BE (Общие стороны);

Следовательно, ∆ABE≅ ∆CBE (по конгруэнтности SAS).

∠BEA = ∠BEC (Соответствующие углы).

И ∠BEA +∠BEC = 180° (линейная пара);

2∠BEA = 180° (∠BEA = ∠BEC);

∠BEA = = 90° = ∠BEC;

AE = EC (соответствующие стороны).

Следовательно, BD AC.