Производная произведения двух функций
Что такое производная произведения двух функций
Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя: \((uv)'=u'v+uv'\)
В данном случае существует важное условие. Ни при каких обстоятельствах производная произведения функций не равна произведению производных каждого множителя.
Вывод формулы производной от умножения двух чисел с доказательством
В процессе доказательства теоремы следует рассмотреть функцию \(h(x)\), которую можно записать, как произведение двух других функций:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)
Необходимо выполнить вычисления производной рассматриваемой функции, руководствуясь общим алгоритмом. Предположим, что \triangle x является некоторым приращением аргумента. В таком случае, приращение функции \(h(x)\) имеет вид:
\(\triangle h=h(x+\triangle x)-h(x)=(f(x+\triangle x)\cdot g(x+\triangle x))-(f(x)\cdot g(x))\)
Приращения каждого множителя:
\(\triangle f=f(x+\triangle x)-f(x)\Rightarrow f(x+\triangle x)=\triangle f+f(x)\)
\(\triangle g=g(x+\triangle x)-g(x)\Rightarrow g(x+\triangle x)=\triangle g+g(x)\)
Выполним подстановку:
\(\triangle h=(\triangle f+f(x))\cdot (\triangle g+g(x))-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)=\\ =\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot \triangle g\)
Далее можно найти производную:
\(h'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle h}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f\cdot \triangle g+\triangle f\cdot g(x)+f(x)\cdot\triangle g}{\triangle x}=\\ =\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\left(\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot\frac{\triangle g}{\triangle x}\right)+\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}\cdot g(x)+f(x)\cdot\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle g}{\triangle x}=\\ =f'(x)\cdot g'(x)\cdot 0+f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
Таким образом, производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых: производная первой функции на вторую плюс первая функция на производную второй:
\(\left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
Следствие
Пусть\( u, \, v, \, w, \, \)z являются функциями от независимой переменной \( x.\)
Тогда:
\(\bigl( u \, v \, w \bigr)' = u' v \, w + u \, v' w + u \, v \, w'\)
\(\bigl( u \, v \, w \, z \bigr)' = u' v \, w \, z + u \, v' w \, z + u \, v \, w' z + u \, v \, w \, z'\)
Представим доказательства первой формулы. В первую очередь следует применить формулу производной произведения для функций \(u\) и \(v \)\, \(w\), а затем — для функций \(v \) и \(w\):
\(\bigl( u \, v \, w \bigr)' = \bigl( u \cdot (v \, w) \bigr)' = u' \cdot (v \, w) + u \cdot (v \, w)' = u' \, v \, w + u \cdot (v' \, w + v \, w') = u' v \, w + u \, v' w + u \, v \, w'\)
Аналогичным способом можно доказать подобные формулы.
Примеры решения задач
Задача 1
Требуется найти производную произведения двух функций:
\(y = x\ln x\)
Решение:
В первую очередь можно рассчитать производные от каждого из множителей. В случае с множителем x производная будет равна:
\((x)'=1\)
Производная второй функции \(\ln x \) определяется с помощью формулы для логарифма и составляет:
\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
Используя формулу производной произведения можно получить решение задачи:
\(y'=(x\ln x)'=(x)'\ln x + x(\ln x)'=\ln x + x\cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1\)
Ответ: \(y'=\ln x + 1\)
Задача 2
Необходимо найти производную функции:
\(y = x^2e^{3x}\)
Решение:
Производная первой функции равна:
\((x^2)'=2x\)
Производная второй функции равна:
\((e^{3x})'=e^{3x}\cdot (3x)'=e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}\)
С помощью теоремы о производной произведения двух функций можно записать следующее решение:
\(y'=(x^2e^{3x})'=(x^2)'e^{3x}+x^2(e^{3x})'=2xe^{3x}+3x^2e^{3x}\)
Далее следует вынести экспоненты за скобки, чтобы упростить запись ответа:
\(y'=(3x^2+2x)e^{3x}\)
Ответ: \(y'=(3x^2+2x)e^{3x}\)
Задача 3
Нужно найти производную:
\(y(x) = x \sin x\)
Решение:
С помощью правила дифференцирования произведения двух функций запишем:
\(( u v )' = u' v + u v'\)
\(y' = (x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)'\)
По информации из таблицы производных можно найти:
\((x^a)' = a x^{a-1}\)
\((\sin x)' = \cos x"\)
Таким образом:
\((x)' = \left(x^1 \right)' = 1 \cdot x^{1-1} = x^0 = 1\)
В результате, получим:
\(y' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cos x\)
Ответ: \( y'(x) = \sin x + x \cos x\)
Задача 4
Требуется определить производную функции от переменной \(x\) :
\(y(x) = e^x \left( x^2 - 2x + 2 \right)\)
Решение:
Используя формулу производной произведения двух функций, можно записать:
\(( u v )' = u' v + u v'\)
\(y' = \left( e^x \left( x^2 - 2x + 2 \right) \right)' = \left( e^x \right)' \left( x^2 - 2x + 2 \right) + e^x \left( x^2 - 2x + 2 \right)'\)
С помощью формулы производной суммы и разности функций, следует записать уравнения:
\(( u \pm v \pm w )' = u' \pm v' \pm w'\)
\(\left( x^2 - 2x + 2 \right)' = \left( x^2 \right)' - ( 2x )' + ( 2 )'\)
Применив правила дифференцирования постоянных, получим:
\((C)' = 0\)
\((Cu)' = C u'\)
\(( 2x )' = 2 (x)'\)
\(( 2 )' = 0\)
По таблице производных необходимо определить, что:
\(\left( e^x \right)' = e^x\)
\(\left(x^a \right)' = a x^{a-1}\)
Таким образом:
\(\left(x^2 \right)' = 2 x^{2-1} = 2 x^1 = 2 x\)
\((x)' = \left(x^1 \right)' = 1 \cdot x^{1-1} = x^0 = 1\)
\(\left( x^2 - 2x + 2 \right)' = \left( x^2 \right)' - 2( x )' + ( 2 )' = 2x - 2 + 0\)
В таком случае:
\(y' = \left( e^x \right)' \left( x^2 - 2x + 2 \right) + e^x \left( x^2 - 2x + 2 \right)' = e^x \left( x^2 - 2x + 2 \right) + e^x \left( 2x - 2 \right) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + 2x e^x - 2 e^x = x^2 e^x\)
Ответ: \( y'(x) = x^2 e^x\)
Задача 5
Необходимо найти производную функции:
\(y(x) = e^x (\sin x - \cos x)\)
Решение: С помощью последовательного применения правил дифференцирования решим задачу:
\(\left( e^x \right)' = e^x\)
\(( \sin x )' = \cos x\)
\(( \cos x )' = - \sin x\)
\((\sin x - \cos x)' = ( \sin x )' - ( \cos x )' = \cos x + \sin x\)
\(y' = \left( e^x (\sin x - \cos x) \right)' = \left( e^x \right)' (\sin x - \cos x) + e^x (\sin x - \cos x)' = e^x (\sin x - \cos x) + e^x (\cos x + \sin x) = 2 e^x \sin x\)
Ответ: \(y' = 2 e^x \sin x\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
