Производная тангенса

Что такое производная тангенса

Формула для данного определения будет записана, таким образом:

\((tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\)

Вывод данной закономерности достаточно просто представить, зная смысл тригонометрического уравнения следующего порядка:

\(tg x = \frac{\sin x}{\cos x}\)

Производные геометрических определений синуса и косинуса соответствуют значениям:

\((\sin x)' = \cos x\)

\((\cos x)' = -\sin x\)

Исходя из правила производной дроби, можно определить, что:

\((tg x)' = \bigg (\frac{\sin x}{\cos x} \bigg )' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x}\)

Следует принять во внимание тождество:

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

Далее можно упростить числитель с учетом вышеуказанного уравнения:

\(\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\)

Таким образом, записано доказательство определения.

Производная от тангенса в квадрате

Сформулируем выражение производной тангенса угла, обратного котангенсу:

\(\tan ^{2}(x)\)

Выполним замену:

\(u=\tan (x)\)

Исходя из составного правила, применим: \(u ^{2}\) получим \(2u\) 

Далее, руководствуясь правилами, выполним умножение на выражение:

\(\frac{d}{dx}\tan (x)\)

Вычислим производную:

\(\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{1}{\cos^2 (x)}\)

\(\frac{2 tan (x)}{\cos^2( x)} (\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x))\)

Можно упростить полученное выражение и записать ответ:

\(\frac{2 tan (x)}{\cos^2( x)}\)

Производная от тангенса в кубе

Запишем выражение:

\(\tan ^{3}(x)\)

Первая производная степени будет записана таким образом:

\((3\tan ^{2}(x)+3) \tan ^{2}(x)\)

Выполним замену:

\(u=\tan(x)\)

Исходя из правила, применим: \(u ^{3}\) получим \(3u^{2}\)

Действие, обратное возведению числа в степень, является извлечением корня.

Далее, руководствуясь правилами, выполним умножение на выражение:

\(\frac{d}{dx}\tan (x)\)

Плюс нужно переписать функции, чтобы выполнить дифференцирование:

\(\tan (x)=\frac{\sin (x)}{cos(x)}\)

Согласно правилу производной частного:

\(\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{-f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)}{g^{2}(x)}\)

Учитывая, что:

\(f(x)= sin (x)\)

\(g(x)= cos(x)\)

С целью определения \(\frac{d}{dx} f(x)\) необходимо записать, что производная синуса равна косинусу:

\(\frac{d}{dx} sin (x)= cos(x)\)

Найти \(\frac{d}{dx} g(x)\) можно, если вспомнить, что производная косинуса является отрицательным синусом:

\(\frac{d}{dx} cos(x) = -sin (x)\)

Далее следует использовать правило производной деления:

\(\frac{\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}\)

С помощью применения последовательности правил можно записать уравнение:

\(\frac{3(\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x))\tan ^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}\)

После упрощения получим ответ:

\(\frac{3\tan ^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}\)

Примеры решения задач по теме «Производная тангенса»

Необходимо определить производную тангенса этой функции.

Решение:

Учитывая, что по определению производная тангенса представляет собой единицу, деленную на косинус в квадрате одного и того же аргумента. В связи с тем, что в условии записана сложная функция, следует дополнительно выполнить умножение на производную аргумента тангенса. В результате получим выражение:\(y' = (tg 2x)' = \frac{1}{\cos 2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{\cos 2x} \cdot 2 = \frac{2}{\cos 2x} \).

Ответ: \(y' = \frac{2}{\cos 2x}\)

Решение:

Тангенс в данном случае представляет собой степенную функцию. Исходя из этого условия, следует взять производную по правилу:

\((x^p)' = px^{p-1}\)

Далее можно умножить выражение на производную тангенса:\(y' = (tg^2 x)' = 2tg x \cdot (tg x)' =2tg x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 2\frac{tg x}{\cos^2 x} = 2 \frac{sinx}{\cos^3 x} \).

Ответ: \(y' = 2\frac{\sin x}{\cos^3 x}\)