Производная Х* корня из Х

Понятие производной, чему равна Х* корня из Х

Говоря проще, производная есть скорость изменения функции в конкретной точке. Скорость оценивается с помощью вычисления отношения изменения функции \(\triangle y\) к изменению аргумента \(\triangle x\). Данное отношение рассматривается в пределе, где \(\triangle x\rightarrow0.\)

Обычно производную обозначают как f'(x).

Перед тем, как приступать к изучению частного случая производной x\times\sqrt x, рассмотрим, чему равна производная из \(\sqrt x\).

\(\left(\sqrt x\right)'=\frac1{2\sqrt x}\)

Также существует частный случай для производной корня сложной функции \(y=y(x)\):

\(\left(\sqrt y\right)'=\frac1{2\sqrt y}\times y'\)

Формула, как найти

Зная общее определение производной и производной из \sqrt x, перейдем к правилам нахождения производной функции.

С помощью правила дифференцирования степенной функции

Рассмотрим правило на примере нахождения производной квадратного корня. Вспомним, что \(\sqrt x=x^\frac12\).

Таким образом:

\(f(x)=\sqrt x=x^{\left(\frac12\right)}\)

\(f'(x)=\frac12\times x^{(\frac12)}=\frac12\times x^{(-\frac12)}\)

Видно, что сперва мы нашли производную с помощью правила дифференцирования степенных функций, а после упростили функцию, вынеся минус перед дробью.

Продолжим упрощение:

\(\frac12\times x^{(-\frac12)}=\frac12\times\frac1{\sqrt x}=\frac1{2\sqrt x}\)

Мы вспомнили, что отрицательная степень числа равна обратному данному числу в той же положительной степени.

Итак, ответом будет:

\(f'(x)=\frac1{2\sqrt x}\)

С помощью правила дифференцирования сложной функции

Рассмотрим на примере нахождения производной функции \(\sqrt{3x+2}\).

Разобьем ее на две составляющие:

\(f(g)=\sqrt g=g^\frac12\)

\(g(x)=(3x+2)\)

Найдем производные обеих функций:

\(f'(g)=\frac12\times g^{-\frac12}=\frac1{2\sqrt g}\)

\(g'(x)=3\)

Комбинируем найденные произведения по правилу дифференцирования сложных функций.

Таким образом:

\(y'=\frac1{2\times\sqrt g}\times3=\frac1{2\sqrt{(3x+2)}}\times3=\frac3{2\times\sqrt{(3x+2)}}\)

Ответ: \(y'=\frac3{2\times\sqrt{(3x+2)}}.\)

С помощью упрощенного правила дифференцирования корня

Рассмотрим на примере производной функции \(\sqrt{5x+2}.\)

В ней подкоренным выражением будет \((5x+2)\), а его производной — \(5\).

Вспомним определение производной корня. Получим:

\(f(x)=\sqrt{5x+2}\)

\(f'(x)=\frac5{2\times\sqrt{5x+2}}\)

По правилу дифференцирования квадратных корней нужно было делить числитель на удвоенное произведение первоначального корня, что мы и сделали для получения ответа.

Примеры решения задач по теме «Производная корня»

Задача 1

Найти производную функции \(y(x)=2\sqrt x.\)

Решение

\(y'(x)=(2\sqrt{x)}'\)

Применим уже изученные правила. Получим:

\(y'(x)=2\times(\sqrt{x)'}=2\times\frac1{2\times\sqrt x}=\frac1{\sqrt x}\)

Ответ: \(y'(x)=\frac1{\sqrt x}.\)

Задача 2

Найти производную функции \(y(x)=\sqrt{2x}.\)

Решение

\(y'(x)=(\sqrt{2x})'\)

Применим уже изученные правила. Получим:

\(y'(x)=(\sqrt{2x})'=\frac1{2\times\sqrt{2\times x}}\times(2x)'\)

\(y'(x)=\frac1{2\times\sqrt{2\times x}}\times2\times\;(x)'=\frac1{\sqrt{2x}}\times1=\frac1{\sqrt{2x}}\)

Ответ: \(y'(x)=\frac1{\sqrt{2x}}.\)

Задача 3

Попробуем решить производную частного случая \(x\times\sqrt x\).

Найти производную от \(x\times\sqrt x.\)

Решение

Применим уже изученные правила и получим: