Использование координатного метода для решения задач

Суть координатного метода решения задач в геометрии

Есть и другие варианты наименования представленного способа: координатно-векторный или векторно-координатный.

Основные сведения и формулы для векторов в координатах

Для того, чтобы выполнить задание рассматриваемым способом, нужно не только сделать чертеж координатной плоскости, но и использовать определенные формулы:

1. Угол между прямой и плоскостью.
2. Угол между прямыми.
3. Расстояние от точки до плоскости.
4. Угол между плоскостями.
5. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
6. Расстояние от точки до прямой.

Угол между прямой и плоскостью

Возьмем первую формулу. Сначала приведем уравнение плоскости, проходящей через три точки:

\(A\left(x_0;y_0;z_0\right),\;B\left(x_1;y_1;z_1\right),\;C\left(x_2;y_2;z_2\right).\)

Уравнение прямой на плоскости выглядит так:

\(Ax+By+C=0\)

Тогда уравнение плоскости в пространстве:

\(Ax+By+Cz+D=0\)

При этом вектор k с координатами (A, B, C) — вектор, перпендикулярный плоскости α. Это называют вектором нормали.

Известно, что три точки в пространстве определяют единственную плоскость. Поэтому если заданы три точки, то мы можем найти уравнение плоскости. Мы можем подставить координаты заданных точек в уравнение плоскости и решить систему из трех уравнений с тремя переменными:

\(\left\{\begin{array}{l}Ax_0+By_0+Cy_0+D=0,\\Ax_1+By_1+Cy_1+D=0,\\Ax_2+By_2+Cy_2+D=0\end{array}\right.\)

В этой системе четыре неизвестных, однако, мы можем избавить от одной, если разделим все на D:

\(\left\{\begin{array}{l}Ax_0+By_0+Cy_0+1=0,\\Ax_1+By_1+Cy_1+1=0,\\Ax_2+By_2+Cy_2+1=0\end{array}\right.\)

После решения этой системы мы найдем коэффициенты уравнения плоскости. 

Угол между прямыми

Она гласит, что прямая АВ имеет направляющий вектор:

\(\overrightarrow{AB}=\{x_1;y_1;z_1\}\)

У прямой CD есть направляющий вектор \(\overrightarrow{СВ}=\{x_2;y_2;z_2\}.\)

\(А \cos\;\left(AB;CD\right)=\frac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\times\left|\overrightarrow{DC}\right|}=\frac{x_1\times x_2+y_1\times y_2+z_1\times z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\times\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}.\)

Расстояние от точки до плоскости

Предположим, что даны координаты некоторой точки \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) и уравнение \(Ax+By+Cz+D=0\). Тогда расстояние от точки до плоскости находят по формуле:

\(d=\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{\left(A_2+B_2+C_2\right)}}\). 

Угол между плоскостями

Уравнение первой плоскости:

\(A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\)

второй плоскости:

 \(A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\)

Тогда косинус можно найти по следующей формуле:

\(\cos\;\varphi=\frac{\left|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2\right|}{\sqrt{\left(A_1\right)^2+\left(B_1\right)^2+\left(C_1\right)^2}\times\sqrt{\left(A_2\right)^2+\left(B_2\right)^2+\left(C_2\right)^2}}\)

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми есть расстояние между плоскостью, проходящей через одну из прямых параллельно второй, и второй прямой. Чтобы найти эту величину, необходимо провести прямую b, параллельную с, чтобы с пересекалась с а. Плоскость α, которая проходит через прямые с и а, будет плоскостью, параллельной прямой b. Далее из точки пересечения прямых а и с на прямую b нужно опустить перпендикуляр HB. Затем необходимо найти длину данного отрезка.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Уравнение прямой — это \( Ax+By+C=0\)

Тогда можно найти S от точки до прямой с помощью выражения:

\(d=\frac{\left|A\times M_x+B\times M_y+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

Общая схема решения задач координатным методом

Примерная схема для выполнения заданий векторно-координатным методом выглядит так:

1. Ввести систему координат удобным образом, исходя из свойств заданной фигуры.
2. Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат координаты точек и векторов.
3. Используя алгебраические преобразования, решить задачу.
4. Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием данной задачи.

Пример задачи на применение векторного метода

Задача

Решение

Введем систему координат с началом в вершине А. Интересующие нас точки будут иметь координаты:

\(А(0;0;0), С(4;4;0), Е(4;2;4), К(2;4;4)\)

Напишем уравнение плоскости \(ЕКС\): 

\(\left\{\begin{array}{l}4А+2В+4C+D=0,\\2A+4B+4C+D=0,\\4A+4B+D=0\end{array}\right.\)

Решая эту систему, получим значения: 

\(\left\{\begin{array}{l}А=2,\\В=2,\\С=1,\\D=-16\end{array}\right.\)

Уравнение плоскости имеет вид:

\(2x+2y+z-16=0\)

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости ЕКС:

\(d=\frac{\left|-16\right|}{\sqrt{\left(4+4+1\right)}}=\frac{16}3=5\frac13\)

Ответ: \(d=5\frac13\)