Рациональные дроби и их свойства
Рациональная дробь и ее основное свойство
Целые выражения в алгебре представляют собой такие выражения, которые состоят из чисел и переменных, полученных путем арифметических действия сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю. Для дробных выражений характерно также использование деления на выражение, содержащее переменные. Данные выражения, целые и дробные, объединены общим понятием рациональных выражений.
Рациональная дробь является дробью, в которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены.
Рациональная дробь (рациональная функция) является отношением пары многочленов \(P_{m} (x)\) и \(Q_{n} (x)\) со степенями m и n соответственно:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(R(x)=\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} =\frac{a_{0} x^{m} +a_{1} x^{m-1} +...+a_{m-1} x+a_{m} }{b_{0} x^{n} +b_{1} x^{n-1} +...+b_{n-1} x+b_{n} } ,\, \, a_{0} \ne 0,b_{0} \ne 0\)
Объяснение основного свойства дроби: когда числитель и знаменатель какой-либо рациональной дроби умножают на одинаковый многочлен, который не равен тождественно нулю, получается дробь, равная начальной.
Ключевое свойство рациональной дроби можно выразить формулой:
\(\frac{P}{Q} = \frac{PR}{QR}\)
Данное тождество является справедливым равенством, если \(R \neq 0\) и \(Q \neq 0\), а R является целым рациональным выражением.
Допустимо умножать и делить на одинаковое число, которое не равно нулю, одночлен или многочлен, числитель и знаменатель рациональной дроби. В качестве примера можно преобразовать следующее выражение подобного типа:
\(\frac{\frac{1}{3} x^{3}- \frac{1}{2} x^{2}+1}{\frac{1}{4} x^{2}- \frac{1}{6} x+\frac{1}{2}} = \frac{12(\frac{1}{3} x^{3}- \frac{1}{2} x^{2}+1)}{12(\frac{1}{4} x^{2}- \frac{1}{6} x+\frac{1}{2})} = \frac{4 x^{3}- 6x^{2}+12}{3 x^{2}- 2x+6}\)
Используя свойство дроби, можно упростить работу и изменять знаки у элементов дроби. Когда числитель и знаменатель дроби \(\frac{P}{Q}\) умножают на -1, в результате получается \(\frac{P}{Q} = \frac{-P}{-Q}.\) Значение дроби в итоге останется прежним при смене знаков одновременно и в числителе, и в знаменателе.
Когда меняют знак лишь у числителя, либо только у знаменателя, дробь меняет свой знак:
\(\frac{-P}{Q} =- \frac{P}{Q}\)
\(\frac{P}{-Q} = -\frac{P}{Q}\)
Можно сделать вывод, что:
\(\frac{P}{Q} = -\frac{-P}{Q}=-\frac{P}{-Q}\)
В качестве самостоятельного примера приведем выражение:
\(\frac{3x - 2}{3x + 4} = -\frac-{3x - 2}{3x + 4} = -\frac{2-3x}{3x + 4}\)
Область определения рациональной дроби
Допустимыми значениями переменных называют такие значения переменных, при которых выражение приобретает смысл.
Область определения рациональной дроби представляет собой все значения для переменных, которые не обращают знаменатель в нуль.
\(15x^{2} - 11x + 3x^{2} – 4\)
В данном случае областью определения являются все действительные числа, за исключением таких чисел, при которых \(x^{2} – 4 = 0\), то есть кроме 2 и -2.
Рациональные дроби и операции над ними
Тождеством называют равенство, которое является верным при любых допустимых значениях переменных, входящих в состав этого равенства. Арифметические действия с рациональными дробями характеризуются следующими свойствами:
- когда а, b, с являются многочленами, при этом с обладает не нулевым значением, то:
\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}\)
\(\frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}\)
- когда a, b, c, d являются многочленами при b и d, которые тождественно не равны нулю, то:
\(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)
\((\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n} }{b^{n}}\)
- в том случае, когда a, b, с, d являются многочленами, при этом b, с и d тождественно не равны нулю, то:
\(\frac{a}{b}\div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}\)
Сокращение рациональных дробей
При сокращении дробей требуется разделить числитель и знаменатель дроби на единый множитель. Такая возможность доступна благодаря ключевому свойству дроби.
В том случае, когда нужно выполнить сокращение рациональной дроби, следует разложить на множители и числитель, и знаменатель. При наличии у числителя и знаменателя общих множителей представляется возможным сократить такую дробь. При отсутствии единых множителей подобное преобразование невозможно.
Приведение рациональных дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель для нескольких дробей, являющихся рациональными, представляет собой такое целое рациональное выражение, которое можно разделить на знаменатель каждой из дробей.
Определим общий знаменатель дробей:
\(\frac{x}{x+2} \) и \(\frac{3x-1}{x-2}\)
Таким знаменателем является многочлен: \((х+2)(х-2).\) Это объясняется возможностью разделить данный многочлен на \((х + 2)\) и на \((х – 2)\).
В качестве общего знаменателя также можно выбрать следующие выражения:
\(3(x+2)^{2} \times (x-2)\)
\(5x^{2} (x+2) \times (x-2) ^{3}\)
Следует выбрать такой общий знаменатель, на который можно поделить любой другой общий знаменатель. Наиболее простой знаменатель является наименьшим общим знаменателем.
Таким образом, для рассмотренного выражения наименьшим общим знаменателем является \((х+2)(х-2)\):
\(\frac{x}{x+2} = \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}\)
\( \frac{3x-1}{x-2} = \frac{(3x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\)
Рассмотренные в примере дроби были приведены к общему знаменателю с помощью умножения числителя и знаменателя первой дроби на \((х-2)\). Одновременно с этим числитель и знаменатель второй дроби умножили на (х+2). Многочлены \((х-2) \) и \((х+2)\) являются дополнительными множителями.
Дополнительный множитель для заданной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Алгоритм действий для приведения нескольких рациональных дробей к единому знаменателю:
- Разложить знаменатель каждой из дробей на множители.
- Определить общий знаменатель путем добавления в произведение всех множителей, которые были получены ранее. Когда какой-либо множитель представлен в нескольких разложениях, то следует взять его с показателем степени, соответствующим максимальному значению из тех, которые имеются.
- Вычислить множители, являющиеся дополнительными для каждой из представленных дробей с помощью деления единого знаменателя на знаменатель дроби.
- Умножить числитель и знаменатель дробей на определенный дополнительный множитель с последующим приведением дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание рациональных дробей
Сумма пары или большего количества рациональных дробей, которые имеют одинаковые знаменатели, тождественно равна дроби с аналогичным знаменателем и с числителем, соответствующим сумме числителей дробей, участвующих в сложении:
\(\frac{P1}{Q}+\frac{P2}{Q} = \frac{P1+P2}{Q}\)
Данное правило распространяется и на действия с вычитанием дробей, имеющих одинаковые знаменатели:
\(\frac{P1}{Q}-\frac{P2}{Q} = \frac{P1-P2}{Q}\)
Умножение и деление рациональных дробей
Произведение пары или большего количества рациональных дробей тождественно равно дроби с числителем, равным произведению числителей, и знаменателем, который соответствует произведению знаменателей перемножаемых дробей:
\(\frac{P1}{Q1}\times \frac{P2}{Q2} = \frac{P1\times P2}\times {Q1\times Q2}\)
Частное от деления пары рациональных дробей тождественно равно дроби с числителем, равным произведению числителя первой дроби и знаменателя второй дроби, и знаменателем, который является произведением знаменателя первой дроби и числителя второй дроби:
\(\frac{P1}{Q1}\div \frac{P2}{Q2} = \frac{P1\times Q2}\div {Q1\times P2}\)
В том случае, когда требуется умножить или разделить рациональную дробь на многочлен, можно использовать данные правила. Перед вычислениями потребуется перевести заданный многочлен в дробь, знаменатель которой равен единице.
С учетом опции сокращения рациональной дроби, полученной по итогам умножения или деления рациональных дробей, обычно при решении задач в первую очередь раскладывают числители и знаменатели начальных дробей на множители, а затем переходят к выполнению умножения или деления.
Возведение рациональной дроби в целую степень
При возведении рациональной дроби \( \frac{P}{Q}\) в натуральную степень n требуется возвести в указанную степень по отдельности числитель и знаменатель дроби. Первое выражение является числителем, а второе выражение соответствует знаменателю результирующей дроби:
\((\frac{P}{Q})^{n}=\frac{P^{n}}{Q^{n}}\)
В том случае, когда необходимо возвести дробь в целую отрицательную степень, потребуется применить тождество:
\((\frac{P}{Q})^{-n}=\frac{Q^{n}}{P^{n}}\)
Данное тождество является справедливым равенством для всех переменных, при которых \(P \neq 0\), \(Q\neq 0\).
Преобразование рациональных выражений
В процессе преобразования какого-либо рационального выражения складывают, вычитают, умножают и делят рациональные дроби, а также возводят в натуральную степень. Любое рациональное выражение преобразуется в дробь с числителем и знаменателем в виде целых выражений. Это является целью тождественных преобразований рациональных выражений.
Пояснения на примерах
Требуется выполнить сокращение дроби:
\(\frac{ x^{2} -3xy }{9y^{2} - x^{2}}\)
Решение
Выполним преобразования:
\(x^{2} -3xy = x(x -3y)\)
\(9y^{2} - x^{2} = -( x^{2} - 9y^{2}) = -(x- 3y)(x+3y)\)
Таким образом:
\(\frac{ x^{2} -3xy }{9y^{2} - x^{2}} = \frac{ x(x -3y)}{ -(x- 3y)(x+3y)} =- \frac{ x}{ x+3y}\)
При \(x-3y \neq 0 \) сокращение дроби выполнено.
Имеются дроби, которые требуется привести к общему знаменателю:
\(\frac{a}{12a^{2} – 12b^{2}}\)
\(\frac{b}{18a^{3} + 18a^{2}b}\)
\(\frac{a+b}{24a^{2} - 24ab}\)
Решение
В первую очередь следует разложить знаменатели дробей на множители:
\(12a^{2} – 12b^{2} = 12(a – b) (a + b)\)
\(18a^{3} + 18a^{2}b = 18a^{2}(a+b)\)
\(24a^{2} - 24ab = 24a(a – b)\)
В единый знаменатель следует записать множители:
\((a-b)\), \((a+b)\), \(a^{2}\)
Кроме того, в общий знаменатель нужно включить минимальное общее кратное чисел 12, 18, 24, то есть:
\(К (12, 18, 24) = 72\)
В результате единый знаменатель равен:
\(72a^{2}\times (a-b)(a+b)\)
Дополнительным множителем в случае первой дроби является \(6a^{2}\).
Дополнительный множитель для второй дроби имеет вид \(4(a-b)\).
В случае третьей дроби дополнительный множитель равен \(3a(a+b)\).
Таким образом:
\(\frac{6a^{3}}{72a^{2}(a-b)(a+b)}\)
\(\frac{4b(a-b)} {72a^{2}(a-b)(a+b)}\)
\(\frac{3a(a+b)^{2}}{72a^{2}(a-b)(a+b)}\)
В результате дроби приведены к общему знаменателю.
Требуется упростить выражение:
\(\frac{x^{3}}{x+y} +\frac{y^{3}}{x+y}\)
Решение
В этом случае требуется выполнить сложение рациональных дробей, у которых отличаются знаменатели. Используя алгоритм сложения, приведем дроби к общему знаменателю. Далее выполним арифметические действия с дробями, имеющими одинаковые знаменатели:
\(\frac{x^{3}}{x+y} +\frac{y^{3}}{x+y} = \frac{x^{3}+ y^{3}}{x+y} = \frac {(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}}{x+y} = x^{2} – xy + y^{2}\)
Ответ: \(x^{2} – xy + y^{2}\)
Требуется упростить выражение:
\(\frac{3}{2x^{2}+2x} +\frac{2x-1}{x^{2}-1} -\frac{2}{x}\)
Решение
Выполним преобразования:
\(2x^{2}+2x = 2x (x+1)\)
\(x^{2} – 1 = (x-1)(x+1)\)
Таким образом:
\(\frac{3}{2x^{2}+2x} +\frac{2x-1}{x^{2}-1} -\frac{2}{x} = \frac{3(x-1) + 2x(2x-1)-4(x-1)(x+1)}{2x(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{2x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2x(x-1)}\)
Ответ: \(\frac{1}{2x(x-1)}\)
Необходимо перемножить две рациональные дроби:
\(\frac{x^{2} + 2x +1}{18x^{3}} \times \frac{9x^{4} }{x^{2}-1}\)
Решение
Выполним преобразования:
\(\frac{x^{2} + 2x +1}{18x^{3}} = \frac{(x+1)^{2}}{18x^{3}}\)
\(\frac{9x^{4} }{x^{2}-1} = \frac{9x^{4} }{(x-1)(x+1)}\)
С помощью правила умножения дробей вычислим:
\(\frac{(x+1)^{2}}{18x^{3}}\times \frac{9x^{4} }{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)x^{2}\times 9x^{4}}{18x^{3}(x-1)(x+1)} = \frac{x(x+1)}{2(x-1)}\)
Ответ: \(\frac{x(x+1)}{2(x-1)}\)
Нужно найти частное дробей:
\(\frac{a^{3} – 2a^{2}}{ 3a+3}\div \frac{a^{2} – 4}{ 3a^{2} +6a+3}\)
Решение
Выполним преобразования:
\(\frac{a^{3} – 2a^{2}}{ 3a+3} = \frac{a^{2}(a-2)}{ 3(a+1)}\)
\(\frac{a^{2} – 4}{ 3a^{2} +6a+3} = \frac{(a-2)(a+2)}{ 3(a+1)^{2}}\)
С помощью правила деления дробей выполним вычисления:
\(\frac{a^{3} – 2a^{2}}{ 3a+3}\div \frac{a^{2} – 4}{ 3a^{2} +6a+3} = \frac{a^{2}(a-2)}{ 3(a+1)} \div \frac{(a-2)(a+2)}{ 3(a+1)^{2}} = \frac{a^{2}(a-2)\times 3(a+1)^{2}}{ 3(a+1)(a-2)(a+2)} = \frac{a^{2}(a+1)}{ a+2}\)
Ответ: \(\frac{a^{2}(a+1)}{ a+2}\)
Дана дробь, которую требуется возвести в степень:
\((\frac{2x^{2}y^{3}}{3z^{5}})^{3}\)
Решение
Используя правила возведения в степень для дроби и одночлена, получим:
\((\frac{2x^{2}y^{3}}{3z^{5}})^{3} = \frac{(2x^{2}y^{3})^{3}}{(3z^{5})^{3}} = \frac{8x^{6}y^{9}}{27z^{15}}\)
Ответ: \(\frac{8x^{6}y^{9}}{27z^{15}}\)
Имеется некое выражение, которое нужно преобразовать в дробь:
\((\frac{(a+b)^{2}(a-b) ^{3}}{(a+2b)^{4}})^{-5}\)
Решение
\((\frac{(a+b)^{2}(a-b) ^{3}}{(a+2b)^{4}})^{-5} = (\frac{(a+2b)^{4}}{(a+b)^{2}(a-b) ^{3} })^{5} = \frac{(a+2b)^{20}}{(a+b)^{10}(a-b) ^{15} }\)
Ответ: \(\frac{(a+2b)^{20}}{(a+b)^{10}(a-b) ^{15}}\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
