Формула нахождения расстояния от точки до прямой

Что такое расстояние от точки до прямой

При этом перпендикуляр – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек прямой.

Расстояние от точки до прямой на плоскости, методы нахождения

Найти расстояние от точки до прямой можно двумя способами. С помощью теоремы Пифагора или прямоугольной системы координат. Рассмотрим первый метод.

Теорема Пифагора гласит, что прямоугольная система координат OXY имеет точку М₁ (x₁, y₁). Из нее к плоскости проведена прямая а. Уравнение плоскости имеет вид:

cos ax + cos by - p = 0.

Это уравнение равно по модулю значению, которое получается в левой части уравнения прямой при x = x₁, а y = y₁. Это значит, что:

M₁H₁ = cos ax₁ + cos by₁ - p

Доказательство

Прямой а соответствует уравнение плоскости, которое имеет вид:

cos ax + cos by - p = 0.

Тогда n → = (сos a, cos b) – это нормальный вектор прямой а с расстоянием от начала координат до прямой а с р единицами. При этом радиус вектор точки М₁ - ОМ₁ → = (х₁, у₁).

М₁Н₁ – прямая от точки до прямой. Проекции М₂ и Н₂ точек М₁ и Н₁ проходят через точку О с направляющим вектором n → = (cos a, cos b). Числовая проекция вектора ОМ₁ → = (х₁, у₁) направлена к n → = (cos a, cos b) как npn → OM₁ →. В итоге получаем М₁Н₁ = npn → ОМ → 1 - р.

Далее приводим равенство к виду М₁Н₁ = cos x₁ + cos b₁ - p. Из этого выходит npn → OM → 1 = cos ax₁ + cos by₁. Cкалярное произведение векторов дает формулу n → OM → 1 = n → npn → OM₁ → = 1npn → OM₁ → = npn → OM1 →.

Эта формула – произведение в координатной форме вида n →, OM₁ → = cos ax₁ + cos by₁. Из этого npn → OM₁ → = cos ax₁ +cos by₁. Отсюда следует, что M₁H₁ = npn → OM₁ → - p = cos ax1 + cos by1 - p.

Что и следовало доказать.

Согласно теореме Пифагора, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно совершить следующие шаги:

1. Вывести уравнение прямой cos ax + cos by - p = 0, если его нет в задании.
2. Вычислить cos ax + cos by - p, где значение принимает М₁Н₁.

Рассмотрим второй метод. Если у точки Н₁ есть координаты (х₂, у₂), тогда расстояние от точки до прямой можно найти по формуле:

\(\left|M1H1\right|=\sqrt{\left(x2-x1\right)^2+\left(y2-y1\right)^2}\)

Найдем координаты точки Н1.

Прямая линия в ОХУ равна уравнению прямой на плоскости. Необходимо составить уравнение прямой b, проходящей через точку М₁ перпендикулярно прямой а. Н₁ – это точка пересечения прямых a и b. Для начала нужно найти общее уравнение прямой а, которое имеет вид А₁х + В₁у + С₁ = 0. Либо можно воспользоваться уравнением с угловым коэффициентом у = k₁x + b₁. 

Далее нужно вывести уравнение прямой b, которое имеет вид А₂х + В₂у + С₂ = 0. Либо можно использовать уравнение по аналогии с прямой а: у = k₂x + b₂. Чтобы определить координаты точки Р1, нужно решить систему линейных уравнений:

\(\left\{\begin{array}{lc}А1х\;+\;В1у\;+\;С1\;=\;0&\\А2х\;+\;В2у\;+\;С2\;=\;0&\end{array}\right.\) либо \( \left\{\begin{array}{l}у\;=\;k1x\;+\;b1\\у\;=\;k2x\;+\;b2\end{array}\right.\)

Конечное расстояние получают с помощью формулы:

\(\left|M1H1\right|=\sqrt{\left(x2-x1\right)^2+\left(y2-y1\right)^2}\)

Формулы для нахождения расстояния

Длину перпендикуляра также можно найти с помощью следующей формулы:

\(d\;=\;\;\frac{\left|A\times M_x+B\times M_y+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

Решение уравнений

Пример 1

Вычислить расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение

\(d\;=\;\;\frac{\left|3\times(-1)+4\times3-6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|-3+12-6\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{\left|3\right|}{\sqrt{25}}=\frac{\left|3\right|}5=0,6\)

Ответ: 0,6.

Пример 2

Найти расстояние между прямой 12x + 5y - 17 = 0 и точкой M(-3, 8).

Решение

\(d\;=\;\;\frac{\left|12\times(-3)+5\times8-17\right|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{\left|-36+40-17\right|}{\sqrt{144+25}}=\frac{\left|-13\right|}{\sqrt{169}}=\frac{\left|13\right|}{13}=1\)

Ответ: 1.

Пример 3

Вычислить расстояние между прямой 4x + 3y - 3 = 0 и точкой M(-2, 5).

Решение

\(d\;=\;\;\frac{\left|4\times(-2)+3\times5-3\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{\left|-8+15-3\right|}{\sqrt{16+9}}=\frac{\left|4\right|}{\sqrt{25}}=\frac{\left|4\right|}5=0,8\)

Ответ: 0,8.

Примеры задач для нахождения расстояния от точки до прямой

Задача 1

Дана треугольная пирамида АВСD. Ее грани ABС и ABD представляют собой равные равнобедренные треугольники с прямыми углами при вершине A.

Найти расстояние от точки A до грани ACD, если высота пирамиды равна h и равна CD.

Решение

Так как △BCD равнобедренный, то BC ⊥ CD, K – середина CD. Так же AK ⊥ CD. Получается, перпендикуляр BH на плоскость ACD упадет на прямую AK (удовлетворяет теореме о трех перпендикулярах: HK – проекция, BK – наклонная, обе перпендикулярны CD).

По теореме Пифагора \(BK=\frac{h\sqrt3}2\).

Тогда \(tg ∠ AKB = \frac{AB}{BK}=\frac{2\sqrt3}3=\frac{BH}{HK}\).

Значит, \(BH = 2\sqrt3x\), \(HK = 3x\).

По теореме Пифагора из △ BHK находим \(x = \frac1{2\sqrt7}h ⇒ BH = \sqrt{\frac37}h\).

Ответ: \(\sqrt{\frac37}h\).

Задача 2

Дана правильная четырехугольная пирамида ABCDE с вершиной A. Через точку пересечения диагоналей основания провели плоскость α перпендикулярно ребру AB.

Найти расстояние от точки N до плоскости α, если N – середина \(BE = 2\sqrt2\), а высота пирамиды равна 11.

Решение

По теореме о трех перпендикулярах AB ⊥ CE как наклонная (AO ⊥ (BCD), OB ⊥ CE – проекция). Получаем две пересекающиеся прямые OK и СЕ из плоскости α. Значит, сечением является треугольник СKЕ.

Проведем MN ∥ СЕ. Тогда MN ∥ α. Так как расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одинаково, то:

ρ(N,α)=ρ(Q,α)

где ρ — расстояние.

Т.к. по условию SA⊥α, то проведем QH∥SA⇒QH⊥α. По построению MN – средняя линия △BAD, следовательно:

ВQ = QO ⇒ QH – средняя линия △ KВO ⇒ QH = \frac12 ВK.

Рассмотрим △ АВO = 2. Из △ ВKO ∼ △ ВАO \(⇒ \frac{ВК}{ВО}=\frac{ВО}{ВА} ⇒ ВK = \frac{4\sqrt5}{25} ⇒ QH = \frac{2\sqrt5}{25}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt5}{25}\).

Задача 3

Дано: в цилиндре параллельно диаметру ВС = 10 в нижнем основании проведена прямая, пересекающая окружность нижнего основания в точках Р и Z, причем PZ = 6. Через отрезок PZ проведена плоскость α под углом 15 градусов к плоскости осевого сечения ВСDE.

Найти расстояние от центра нижнего основания до плоскости α.

Решение

Обозначим за OQ – ось цилиндра. Тогда OQ ⊥ BC ⇒ OQ ⊥ p (OQ ∩ p = L).

Проведем OR ⊥ PZ ⇒ по теореме о трех перпендикулярах RL ⊥ PZ ⇒ RL ⊥ p ⇒ ∠ RLO – угол между плоскостями BCDE и α.

Так как и OR⊥PZ и LR⊥PZ, то перпендикуляр из точки O на плоскость α упадет на прямую LR.

Рассмотрим △ OPR: OP = 5, PR = 3, ∠ ORP = 90° ⇒ OR = 4.

Рассмотрим △ LOR: \(∠ HOR = ∠ RLO = 15° ⇒ OH = OR ⋅ cos⁡15° = 4 ⋅ cos⁡(45° − 30°) = \sqrt6+\sqrt2\).

Ответ: \(\sqrt6+\sqrt2\).