Алгоритм решения уравнений с рациональными числами

Что такое рациональные уравнения: определение и виды

По-другому, алгебраическое рациональное уравнение представляет собой такое уравнение, левую часть которого записывают в виде рационального выражения, а правую с нулем.

Данные термины равнозначны. В подтверждении можно записать выражения P и Q с равносильными уравнениями P=Q и P−Q=0.

В рациональных уравнениях может быть разное число переменных от одного и более. Самыми простыми считаются математические выражения с одной переменной. В математике рассматривают два вида рациональных уравнений:

• целые;
• дробные.

В случае дробного рационального уравнения линейное выражение обязательно включает деление на переменную, либо переменную в знаменателе. Подобная запись не характерна для уравнений целого типа.

Основные приемы решения рациональных уравнений

Исходя из вида рационального уравнения, применяют определенный порядок действий для его решения. Когда требуется найти ответ к задаче с целым рациональным уравнением, следует воспользоваться универсальным методом:

1. В первую очередь определяют минимальный общий знаменатель в рамках всего равенства.
2. Второй шаг – расчет множителей, на которые перемножают все компоненты выражения.
3. Далее требуется полученное равенство привести к общему знаменателю.
4. По итогам манипуляций необходимо найти корни целого рационального уравнения.

Когда необходимо решить дробное рациональное уравнение, то следует воспользоваться аналогичным алгоритмом действий, но с небольшими дополнениями. Разница в способах заключается в том, что после четвертого шага, который состоит в поиске предполагаемых корней, при неравносильных преобразованиях необходимо выполнить проверку корней путем их подстановки в формулу.

Важно учитывать тот факт, что обладать нулевым значением может только числитель дроби. Корни, которые приводят знаменатель к нулевому значению, носят названия посторонних.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Решение рациональных уравнений достаточно просто найти, если воспользоваться некоторыми преобразованиями. Подобные манипуляции могут быть следующего типа:

• равносильные или тождественные;
• неравносильные.

Равносильные преобразования первоначального уравнения, не требующие проверок:

• умножение или деление этого выражения на конкретное число, не равное нулю;
• перенос компонентов равенства из правой части в левую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями являются следующие манипуляции:

• возведение в квадрат всех частей выражения;
• исключение знаменателей, которые содержат переменную.

Примеры решения простейших рациональных уравнений

Задача 1

Требуется определить х в уравнении:

\(\frac{5}{x-7}=\frac{2}{x-2}\)

Решение:

\(\frac{5}{x-7}=\frac{2}{x-2}\)

\(5\left(x-2\right)=\left(x-7\right)\cdot \:2\)

5x-10=2x-14

5x=2x-4

3x=-4

\(x=-\frac{4}{3}\)

Ответ: \(x=-\frac{4}{3}\)

Задача 2

Необходимо найти х из уравнения:

\(\frac{x-3}{3-x}=2\)

Решение:

\(\frac{x-3}{3-x}=2​​\)

\(x-3=2\left(3-x\right)\)

x=-2x+9

3x=9

x=3

Ответ: x=3

Задача 3

Нужно определить x из уравнения:

\(\frac{7x+5}{x-4}-\frac{6x-1}{x-3}-\frac{1}{x^2-7x+12}=1\)

Решение:

\(\frac{7x+5}{x-4}-\frac{6x-1}{x-3}-\frac{1}{x^2-7x+12}=1\)

\(\:x^2-7x+12=\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)

Далее необходимо умножить все части выражения на следующий множитель:

\(\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)

В результате получим:

\(\frac{7x+5}{x-4}\left(x-4\right)\left(x-3\right)-\frac{6x-1}{x-3}\left(x-4\right)\left(x-3\right)-\frac{1}{x^2-7x+12}\left(x-4\right)\left(x-3\right)=1\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)

\(\left(7x+5\right)\left(x-3\right)-\left(6x-1\right)\left(x-4\right)-1=\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)

\(x^2+9x-20=x^2-7x+12\)

\(x^2+9x=x^2-7x+32\)

16x=32

x=2

Ответ: x=2

Задача 4

Требуется определить x в уравнении:

\( \frac{7}{x-3}-\frac{10}{x-2}-\frac{6}{x-1}=0\)

Решение:

\(\frac{7}{x-3}-\frac{10}{x-2}-\frac{6}{x-1}=0\)

Необходимо умножить каждую часть равенства на множитель:

\( \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)\)

В итоге получим выражение:

\(\frac{7}{x-3}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)-\frac{10}{x-2}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)-\frac{6}{x-1}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)\)

Затем можно сократить уравнение:

\(7\left(x-2\right)\left(x-1\right)-10\left(x-3\right)\left(x-1\right)-6\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\)

После раскрытия скобок получим:

\( 7x^2-21x+14-10x^2+40x-30-6x^2+30x-36\)

Далее требуется привести подобные:

\( -9x^2+49x-52\)

В итоге преобразований получится решить уравнение:

\(x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{-49+ \sqrt{49^2-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)} x_{2}=\frac{-49- \sqrt{49^2-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}\)

\(x=\frac{13}{9},\:x=4\)

Ответ: \( x=\frac{13}{9},\:x=4\)