Теорема описанной окружности — как построить, свойства

Описанная окружность — что из себя представляет

Решение задач по геометрии может быть проще, если при нахождении неизвестных пользоваться дополнительными сведениями и приемами. Одним из таких будет описание окружности вокруг фигуры.

Точки окружности равноудалены от ее центра, а значит, также равноудалены будут и вершины многоугольника, вокруг которого описана окружность.

Вокруг чего можно описать

Окружность можно описать вокруг (или около):

• треугольника;
• трапеции;
• правильного многоугольника;
• правильного шестиугольника;
• прямоугольника;
• квадрата;
• многоугольника, чьи серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Теорема, основные свойства, признаки

Правило об описанной окружности

Около любой из вышеперечисленных фигур можно описать окружность, причем только одну.

Доказательством теоремы будет тот факт, что точка пересечения серединных перпендикуляров через медианы у любой фигуры будет только одна. Это точка будет является центром окружности, а значит, никакая другая окружность, которая при этом также захватывает все вершины фигуры, не может быть описана вокруг нее.

Теорема синусов

Теорема синусов позволяет найти двойной радиус или диаметр окружности по расчету формулы:

\(2R=d=\frac a{\sin\left(\angle A\right)}=\frac b{\sin\left(\angle B\right)}=\frac c{\sin\left(\angle C\right)},\)

где R — радиус,

d — диаметр,

a, b, c — стороны треугольника,

A, B, C — углы треугольника.

Соответственно, для того, чтобы найти радиус описанной окружности, необходимо знать величины любой стороны и противоположного ей угла.

Свойства описанной окружности:

• центр окружности лежит на пересечении всех серединных перпендикуляров фигуры;
• вершины фигуры, которая описана окружностью, будут равноудалены от центра и будут лежать на кривой окружности;
• в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов будет равна 180 градусам;
• вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Главным признаком описанной окружности будет ее расположение вокруг фигуры, причем ни одна из ее вершин не должна выходить за пределы кривой окружности.

Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула

Треугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника:

\(R=\frac{a\times b\times c}{4\sqrt{p\times\left(p-a\right)\times\left(p-b\right)\times\left(p-c\right)}},\)

где R — радиус ,

a, b и c — стороны треугольника,

p — половина периметра, \(p=\frac{\left(a+b+c\right)}2.\)

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по стороне:

\(R=\frac a{\sqrt3},\)

где R — радиус,

а — сторона треугольника.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по высоте:

\(R=\frac{2h}3,\)

где R — радиус,

h — высота.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника по сторонам:

\(R=\frac{a^2}{\sqrt{4a^2-b^2}},\)

где R — радиус,

a и b — стороны.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника по катетам и гипотенузе:

\(R=\frac12\sqrt{a^2+b^2}=\frac c2,\)

где R — радиус,

a и b — катеты,

с — гипотенуза.

Трапеция

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг трапеции по сторонам и диагонали:

\(R=\frac{a\times d\times c}{4\sqrt{p\times\left(p-a\right)\times\left(p-d\right)\times\left(p-c\right)}},\)

где R — радиус,

a — боковые стороны трапеции,

b — верхнее основание,

с — нижнее основание,

d — диагональ,

р — полупериметр прямоугольного треугольника: \(p=\frac{\left(a+b+c\right)}2.\)

Правильный многоугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного многоугольника:

\(R=\frac a{2\times\sin\left({\displaystyle\frac{180^\circ}N}\right)},\)

где R — радиус,

а — сторона многоугольника,

N — количество сторон многоугольника.

Правильного шестиугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного шестиугольника:

\(R=a=\frac d2,\)

где R — радиус,

а — сторона шестиугольника,

d — диагональ шестиугольника.

Прямоугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольника по стороне:

\(R=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2=\frac d2,\)

где R — радиус,

a и b — стороны прямоугольника,

d — диагональ.

Квадрат

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата:

\(R=\frac a{\sqrt2}=\frac d2,\)

где R — радиус,

d — диагональ.

Так как диаметр является суммой двух радиусов, при помощи вышеперечисленных формул можно найти диаметр просто умножив полученный результат на 2.