Нахождение ранга матрицы — примеры решения

Что такое ранг матрицы — понятие, для чего используется

Возьмем случайную матрицу \(\underset{m\times n}A\) и натуральное число k, меньшее или равное числам m и n. Вычеркивая в ней произвольным образом (m — k) строк и (n — k) столбцов, мы получим квадратные подматрицы меньше размера исходной, k-го порядка. Определители таких подматриц будут минорами k-го порядка матрицы \(\underset{m\times n}A.\)

Всего из матрицы \(\underset{m\times n}A\) получится выделить \(C_m^kC_n^k\) миноров k-го порядка.

Например, из \(\underset{3\times 4}A\) мы получим 12 миноров 1-го порядка, 18 — 2-го и 4 — 3-го. 
Если среди матричных элементов \(a_{ij}\) (i = 1, 2 ... m; j = 1, 2 ... n) есть отличные от нуля, то существует натуральное число r, которое обладает следующими свойствами:

1. У матрицы А есть ненулевой минор r-го порядка.
2. Любой из миноров этой матрицы порядка r + 1 или выше будет нулевым.

Число r с такими характеристиками — ранг матрицы A. 

Устоявшегося обозначения ранга не существует, чаще всего его записывают как \(r (A)\) или rang A, где А — обозначение матрицы. Понятие ранга обычно используют в ситуациях, когда необходима проверка совместимости системы линейных уравнений.

В случае, когда базисный минор матрицы \(\underset{3\times 4}A\) имеет порядок r < m, то как минимум одна ее строка будет не базисной. Согласно теореме о базисном миноре, в таком случае строки рассматриваемой матрицы \(\underset{3\times 4}A\) линейно зависимы. В случае, когда r = m, все строки являются базисными и линейно независимыми.

Из этого можно сделать следующие выводы:

1. Когда ранг матрицы A меньше числа ее строк, они линейно зависимы. В случае, когда он равен числу строк, все они линейно независимы.
2. Всякие r + 1 строк матрицы A ранга r линейно зависимы.
3. Ранг любой матрицы равняется максимальному числу ее линейно независимых строк.

Как определить ранг матрицы, примеры

Нахождение ранга матрицы по определению

Определить ранг можно, перебрав все миноры.

С учетом данной теоремы перебор производится по следующему алгоритму:

1. Перебрать миноры 1-го порядка. Если наличествует хоть один ненулевой минор 1-го порядка, ранг как минимум равен 1.
2. Перебрать миноры 2-го порядка. Если все они нулевые, ранг — единичный. В противном случае переходим к пункту 3.
3. Перебрать миноры 3-го порядка. Если все они нулевые, ранг — два. В противном случае переходим к минорам 4-го, 5-го порядков и т. д.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Этот метод дает возможность сократить вычисления.

\(\begin{pmatrix}2&3&7&11\\1&2&4&7\\5&0&10&5\end{pmatrix}.\)

Решение:

В матрице есть элементы, отличные от нуля, значит, ее ранг больше единицы.

\(М_2\;=\;\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\;=\;4\;-\;3\;=\;1\; \neq 0. \)

Раз ранг больше двух, нужно рассмотреть миноры 3-го порядка, содержащие вышеприведенный минор \(М_2.\)

\(М_3\;=\;\begin{pmatrix}2&3&7\\1&2&4\\5&0&10\end{pmatrix}\;=\;5\;\times\;\begin{pmatrix}3&7\\2&4\end{pmatrix}\;+\;10\;\times\;\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}=\;5\;\times\;(12\;-\;14)\;+\;10\;\times\;(4\;-\;3)\;=\;-\;10\;+\;10\;=\;0.\)

\(М_3\;=\;\begin{pmatrix}2&3&11\\1&2&7\\5&0&5\end{pmatrix}\;=\;5\;\times\;\begin{pmatrix}3&11\\2&7\end{pmatrix}\;+\;5\;\times\;\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}=\;5\;\times\;(21\;-\;22)\;+\;5\;\times\;(4\;-\;3)\;=\;-\;5\;+\;5\;=\;0.\)

Как мы видим, все миноры 3-го порядка нулевые, значит, наибольший ненулевой минор относится ко 2-му порядку.

Ответ: 2.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

В большинстве случаев нахождение ранга перебором миноров требует долгих вычислений. Более простой способ решения этой задачи базируется на элементарных преобразованиях по методу Гаусса, сохраняющих ранг исходной матрицы A и приводящих ее к ступенчатому виду. К таким преобразованиям относятся:

1. Вычеркивание нулевой строки или столбца. Нулевая строка не может быть базисной строкой, ведь в таком случае базисные строки были бы линейно зависимы, а это противоречит теореме о базисном миноре.
2. Перестановка двух строк между собой. Другие строки в этом случае не меняются. Это утверждение непосредственно следует из теоремы о базисном миноре, согласно которой ранг равняется максимальному числу линейно независимых строк.
3. Умножение любой строки на число\( \lambda \neq 0\). 
4. Вычеркивание строки, которая является линейной комбинацией других строк.
5. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число \(\lambda \neq 0\).
6. Транспонирование.

Проведем подробный разбор пункта 5. Представим, что к q-й строке прибавлена p-я строка, умноженная на \(\lambda \neq 0\). В итоге появится новая матрица A′. Если q-я и p-я строки — базисные, это преобразование не изменит значения базисного минора. В случае, когда только p-я строка — базисная, q-я строка является их линейной комбинацией. Умножение на \(\lambda\) это не изменит, и такую строку допустимо удалить при преобразовании.

Если q-я строка — базисная, а p-я — нет, то после преобразования \(r_{q} \rightarrow r_{q} + \lambda r_{p}\) базисный минор \(\triangle_{r}\) перейдет в минор \(\triangle'_{r}\) матрицы A′, который отличается от \(\triangle_{r}\) тем, что вместо элементов строки \(r_{q}\) содержит элементы строки\( r_{q} + \lambda r_{p}\). Согласно теореме о линейности, \(\triangle'_r=\triangle_r+\lambda\;\triangle_r^{(1)}.\)

Определитель r-го порядка \(\triangle_r^{(1)}\) в этом выражении отличается от \(\triangle_r\) тем, что вместо элементов q-й строки содержит соответствующие элементы строки\( r_{p}.\)
Так как p-я строка — не базисная, она может быть представлена в виде линейной комбинации r базисных строк, то \(\triangle_r^{(1)} = 0\) и \(\triangle_r^{(1)} = \triangle_r.\)
Как мы видим, при преобразовании\( r_{q} \rightarrow r_{q} + \lambda r_{p}\) базисный минор ни при каких условиях не изменяется. Из этого делаем вывод, что r (A) = r (A′).

\(В\;=\;\begin{pmatrix}4&0&-1\\0&2&4\\4&4&1\end{pmatrix}.\)

Решение:

Прибавим первую строку матрицы B, умноженную на -1, к ее третьей строке. После произведения необходимых расчетов получим:

\(В\;\sim\;\begin{pmatrix}4&0&-1\\0&2&4\\0&4&2\end{pmatrix}.\)

Умножим вторую строку получившейся матрицы на -2 и прибавим результат умножения к третьей строке:

\(В\;\sim\;\begin{pmatrix}4&0&-1\\0&2&4\\0&0&-6\end{pmatrix}.\)

Итак, исходная матрица 3-го порядка является невырожденной, поскольку ее определитель равен

\(4 \times 2 \times (-6) = -48 \neq 0.\)

Ответ: 3.