Расстояние между скрещивающимися прямыми

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

Прямые состоят из множества точек в метрическом пространстве, но нас интересует кратчайший интервал между ними, точная нижняя грань всего множества расстояний между множеством точек прямой а и множеством точек прямой b. 

Алгоритм вычисления:

1. Достроить плоскость, параллельную одной из прямых и при этом содержащую вторую прямую. Для каждой из скрещивающихся прямых эта плоскость только одна.
2. Найти проекции прямых на эту плоскость. Одна из проекций будет точкой.
3. Вычислить длину перпендикуляра между проекцией другой прямой и этой точкой. 

Итак, можно сделать вывод, что кратчайший перпендикуляр между лежащими в разных плоскостях прямыми а и b будет равен расстоянию от прямой а до плоскости, содержащей прямую b, или расстоянию от прямой b до плоскости, содержащей прямую a.

Координатный метод нахождения расстояния

Иногда отрезок, равный искомому расстоянию, можно достроить на схеме, измерить и найти с помощью теоремы Пифагора, подобия треугольников и т. д. Но в случаях, когда сделать это затруднительно, остается только один способ — найти координаты конкретной точки, лежащей на одной из прямых, и уравнение плоскости, параллельной этой прямой и содержащей вторую прямую. Такой метод нахождения расстояния называется координатным. 

Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

Определив трехмерные координаты точек \(N_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})\) и \(N_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})\), лежащих на прямых а и b, и получив координаты их направляющих векторов \((a_{x}, a_{y}, a_{z}, b_{x}, b_{y}, b_{z})\), а также координаты нормального вектора \(\overrightarrow{n}\) плоскости \(\chi (A, B, C)\), на которой лежит прямая b, можно записать общее уравнение этой плоскости: 

\(А \times (x — x_{2}) + B \times (y — y_{2}) + C \times (z — z_{2}) = 0.\)

Если привести это уравнение к нормальному виду, получится следующее выражение:

\(\cos\alpha \times x + \cos\beta \times y + \cos\gamma \times z - р = 0.\)

В итоге расстояние между точкой \(N_{1}\) и плоскостью \(\chi\) можно вычислить по формуле:

\(\left|N_1H_1\right| = \left|\cos\alpha\times x_1+\cos\beta\times y_1+\cos\gamma\times z_1-р\right|.\)

Примеры нахождения

Решение:

Возьмем точку А за точку отсчета, при которой:\(\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{i}, \overrightarrow{АD} = \overrightarrow{j}, \overrightarrow{АВА_{1}} = \overrightarrow{k}. \)Получим следующие координаты:

\(A_{1} (0, 0, 1), D (0, 1, 0), С (1, 1, 0), C_{1} (1, 1, 1).\)

Тогда координаты векторов будут следующими:

\(\overrightarrow{DC} (1, 0, 0), \overrightarrow{CC_{1}} (0, 0, 1), \overrightarrow{А_{1}D} (0, 1, -1).\)

Перемножим векторы:

\(\left[\overrightarrow{DC}\times\overrightarrow{CC_1}\times\overrightarrow{А_1D}\right]\;\;=\;\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&-1\end{vmatrix}\;=\;-1.\)

Модуль произведения равен единице.

Умножение направляющих векторов даст нам — \(\overrightarrow{i} = (-1, 0, 0).\)

Модуль равен \(\sqrt{(-1)^{2} + 0^{2} + 0^{2}}\), что дает единицу. В таком случае искомое расстояние тоже равно единице. 

Ответ: 1.

\(\begin{cases} x = - 2\\y =1 + 2\times\chi\\z = 4 — 3\times\chi\end{cases}.\)

Прямую b определяют уравнения

\(\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 4}{6}.\)

Вычислите расстояние между а и b.

Решение:

Из уравнений видно, что прямая а содержит точку \(N_{1} (- 2, 1, 4)\), \(\overrightarrow{а} = (0, 2, — 3)\); b содержит точку \(N_{2} (0, 1, — 4), \overrightarrow{b} = (1, — 2, 6).\)

Перемножим векторы:

\(\left[\overrightarrow а\times\overrightarrow b\right]\;=\;\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&k\\0&2&-3\\1&-2&6\end{vmatrix}\;=\;6\times\overrightarrow i\;-\;3\times\overrightarrow j\;-\;2\times\overrightarrow k.\)

Теперь, зная координаты нормального вектора \overrightarrow n плоскости \(\chi\), в которой расположена точка \(N_{2}\), мы находим уравнение плоскости:

\(6\times (х - 0) - 3\times (у - 1) - 2\times(z - (-4)) = 0.\)

Преобразуем уравнение:

6х — 3у — 2z — 5 = 0.

Применим нормирующий множитель, равный

\(\frac{1}{\sqrt{6^{2} + (-3^{2}) + (-2^{2})}} = \frac{1}{7}.\)

Получаем нормальное уравнение плоскости \(\chi\):

\(\frac{6}{7}\times х - \frac{3}{7}\times у - \frac{2}{7}\times z - \frac{5}{7}= 0.\)

Теперь подставим координаты точки \(N_{1}\) в формулу:

\(\left|N_1H_1\right| = \left|\frac{6}{7}\times (-2) - \frac{3}{7}\times 1 - \frac{2}{7}\times 4 - \frac{5}{7}\right|= \left|\frac{-28}{7}\right| = 4.\)

Ответ: 4.