Нахождение кратчайшего расстояния между прямыми в пространстве

Что такое расстояние между прямыми в пространстве

Для начала дадим определение этому понятию.

Определение

Расстояние между прямыми в пространстве — это отрезок, который соединяет две прямые линии по самому короткому пути. Иными словами, он перпендикулярен обеим этим прямым.

Расстояние между прямыми
Источник: resolventa.ru

Но не всегда две линии могут быть параллельны друг другу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Определение

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми
Источник: shkolkovo.net

Таким образом, чтобы найти расстояние между этими скрещивающимися прямыми, нужно от одной из прямых провести перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.

Между параллельными прямыми расстояние одинаково на протяжении всей их длины: перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из этих линий, всегда будет одной и той же величины.

Метод координат для определения расстояния

Разберем пошагово способ определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

  1. Определить координаты точек \(М_1\) и \(М_2\), лежащих соответственно на прямых a и b.
  2. Найти x, y и z направляющих векторов для прямых a и b.
  3. Найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая b с помощью векторного произведения \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\).
  4. Записать общее уравнение плоскости: \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\) и потом записать к нормированному виду уравнения плоскости, которое выглядит так: \(x\times\cos\left(\alpha\right)+y\times\cos\left(\beta\right)+z\times\cos\left(\gamma\right)-p=0\), где p — свободный член (число, которое равно расстоянию точки начала координат до плоскости), а \(\cos\left(\alpha\right),\;\cos\left(\beta\right)\) и \(\cos\left(\gamma\right)\)координаты единичного нормального вектора плоскости.
  5. Далее, для определения расстояния от точки M до искомой плоскости, воспользуемся следующим уравнением: \(M_1H_1=\left|x_1\times\cos\left(\alpha\right)+y_1\times\cos\left(\beta\right)+z_1\cos\left(\gamma\right)-p\right|\), где \(x_1\), \(y_1\) и \(z_1\) — координаты точки \(M_1\), лежащей на прямой a, а \(H_1\) — точка, лежащая на искомой плоскости.

Примеры задач с решением

Задача 1

Куб
Источник: shkolkovo.net

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром равным \(\sqrt{32}\) см. Найти расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\).

Решение

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать в качестве расстояния между прямой \(CC_1\) и плоскостью, проходящей через \(DB_1\) параллельно \(CC_1\). Так как \(DD_1\parallel CC_1\), плоскость \((B_1D_1D)\) параллельна \(СС_1\).

Сначала нужно доказать, что \(CO\) — перпендикуляр, проведенный к этой плоскости. \(CO\perp BD\) (как диагонали квадрата) и \(CO\perp DD_1\) (так как ребро \(DD_1\) перпендикулярно всей плоскости \((ABC)\)). Получается, \(CO\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости. Значит, \(CO\perp(B_1D_1D)\).

\(AC\) — диагонально квадрата — равна \(AB\sqrt2\), то есть \(AC=\sqrt{32}\times\sqrt2=\sqrt{64}=8\) см. Следовательно, \(CO=\frac12\times AC=4\) см.

Ответ: 4 см.

Задача 2

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве:

\(\left\{\begin{array}{l}x=-2\\y=1+2\times\lambda\\z=4-3\times\lambda\end{array}\right.\)

А прямую b канонические уравнения прямой в пространстве:

\(\frac x1=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+4}6\).

Вычислить расстояние между заданными прямыми.

Решение

Прямая a проходит через точку \(M_1(-2, 1, 4)\) и имеет направляющий вектор \(\overrightarrow a=(0, 2, -3)\). Прямая b проходит через точку \(M_2 (0, 1, -4)\), а  ее направляющий вектором является вектор \(\overrightarrow b=(1, -2, 6)\).

Найдем векторное произведение векторов\( \overrightarrow a=(0, 2, -3)\) и \(\overrightarrow b=(1, -2, 6): \left[\overrightarrow a\times\overrightarrow b\right]=\begin{vmatrix}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\0&2&-3\\1&-2&6\end{vmatrix}=6\times\overrightarrow i-3\times\overrightarrow j-2\times\overrightarrow k\).

Так, \(\overrightarrow n=\left[\overrightarrow a\times\overrightarrow b\right]\) плоскости X, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты (6, -3, -2).

Таким образом, уравнение плоскости X есть уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_2(0, 1, -4)\) и имеющей нормальный вектор \(\overrightarrow n=(6, -3, -2)\):

\(6\times(x-0)-3\times(y-1)-2\times(z-(-4))=0\;\leftrightarrow6x-3y-2z-5=0\)

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости \(6x-3y-2z-5=0\) равен \\(frac1{\sqrt{6^2+{(-3)}^2+{(-2)}^2}}=\frac17\). Значит, нормальное уравнение этой плоскости выглядит как \(\frac67x-\frac37y-\frac27z-\frac57=0\).

Воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки \(M_1(-2, 1, 4)\) до плоскости \(\frac67x-\frac37y-\frac27z-\frac57=0: \left|M\_1H\_1\right|=\left|\frac67\times(-2)-\frac37\times1-\frac27\times4-\frac57\right|=\left|\frac{-28}7\right|=4\) см.

Ответ: 4 см.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»