Теорема разложения рациональной дроби на простейшие

Методы разложения рациональных дробей на простейшие

При решении задач по алгебре встречаются разные числа. Одними из наиболее распространенных являются дроби. Дробные значения можно увидеть не только в примерах контрольной или самостоятельной работы, теоремах, функциях, интегралах по математике, но и в других предметных направлениях. Дробями обозначают значения физических величин, а также параметры геометрических фигур. Соответственно умение проводить подобные вычисления пригодятся и в обычной жизни, например, когда нужно узнать стоимость или вес товаров, определить габаритные размеры какого-либо предмета или рассчитать площадь помещения.

Ознакомление с темой стоит начать с понятия простейших дробных чисел. Такую категорию выделяют во множестве дробных значений. Рассмотрим наиболее простые численные записи дробей, к примеру:

\(\frac{1}{x} и \frac{3}{x-4}.\)

Проанализируем записанные выражения. Заметим, что в том и другом случаях представляется возможным выразить знаменатель с помощью следующей записи:

(x-a).

При этом выполняется условие, при котором для первой дроби а имеет нулевое значение, а во втором дробном числе а равно 4. Представим, что имеется еще пара дробных чисел. Запишем их в такой форме:

\(\frac{5}{(x-3)}^2 и \frac{7}{(x+5)}^6.\)

Как и в предыдущем примере, начнем с анализа имеющихся записей. По аналогии выделим отдельно знаменатель дроби. Заметим, что в данном случае он несколько сложнее, а именно имеет общий вид:

\((x-a)^n.\)

Таким образом, изучая дробные числовые записи, можно сделать вывод о наличии такого понятия, как общий вид знаменателя. Когда запись под дробной чертой представляется возможным выразить в форме квадратного трехчлена, то есть \(x^2+px+q\), тогда такое выражение либо получится, либо не получится разложить на множители.

Отсутствует возможность для представления многочлена в виде множителей:

\(x^2+7x+30\)

Подводя итог вышесказанному, целесообразно сформулировать одно из главных понятий рассматриваемой темы. Представим расшифровку для термина простых дробных чисел.

В результате было сформулировано достаточно точное и понятное определение простых дробных чисел. Данную расшифровку полезно использовать при решении задач, когда требуется идентифицировать то или иное дробное значение из условия. Выявление простейшей дроби позволяет применить закономерности и правила для представления числовой записи в виде нескольких множителей. Тогда расчеты значительно упрощаются, а на поиск ответа к заданию тратится меньше времени за счет сокращения объемов вычислений.

Ранее было озвучено, что имеется некое правило, позволяющее упростить и сократить вычисления в процессе работы с простейшими дробями. Такая закономерность действительно существует и часто используется для преобразования громоздких математических выражений в более удобный для проведения расчетов формат. Представим формулировку этого правила.

Процесс выделения слагаемых реализован поэтапно. Предусмотрен стандартный алгоритм действий на этот случай. Разберемся в порядке операций на примере произвольного дробного числа. Представим, что имеется дробь, которую согласно ранее озвученного определения нельзя отнести к числу элементарных:

\(\frac{4x+1}{x^2+7x-30} = \frac{4x+1}{(x+10)(x-3)}\)

Далее применим метод разложения записанного дробного числа для получения пары простейших дробей:

\(\frac{4x+1}{(x+10)(x-3)} = \frac{A}{x+10} + \frac{B}{x-3}\)

\(\frac{4x+1}{(x+10)(x-3)} = \frac{A(x-3)+B(x+10)}{(x+10)(x-3)}\)

Анализируя запись несложно выявить равенство знаменателей, что свидетельствует о соответствующем равенстве дробных чисел. Таким образом, числители аналогично обладают одинаковыми значениями. Представим это заключение в формате алгебраического соотношения:

\(4x+1= A(x-3)+B(x+10) = (A+B)x+(-3A+10B)\)

В данном случае будет полезно вспомнить одно из ключевых свойств, характерных для многочленов. С его помощью получится продолжить вычисления по разложению дробного числа.

Продолжим решение задачи. Руководствуясь записанным правилом, выполним сборку коэффициентов следующим образом:

\(x^1 \mid 4 = A+B\)

\(x^0 \mid 1 = -3A+10B\)

В результате несложных преобразований получилось составить стандартную систему, в состав которой входит пара линейных уравнений, обладающих двумя неизвестными. Продолжим расчеты:

\({\left\{ \begin{array}{c} A+B = 4 | \times 3 \\ -3A+10B = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3A+3B = 12 \\ -3A+10B = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 4-B \\ 13B = 13 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 3 \\ B = 1 \end{array} \right.}\)

На следующем этапе целесообразно представить дробное число в формате суммирования элементарных дробей, а именно:

\(\frac{4x+1}{x^2+7x-30} = \frac{3}{x+10}+ \frac{1}{x-3}\)

 

Исходя из вышесказанного и особенностей решения практического примера, составим инструкцию к разложению рациональной дроби. В этом случая запишем выражения в обобщенном виде, чтобы упростить применение руководства к действию для решения различных задач. В результате получается универсальный алгоритм:

• разложение знаменателя, который присутствует в записи рационального дробного числа \(\frac{Q(x)}{P(x)}\), на множители в форме \((x-a) и (x^2+px+q), p^2-4q \lt 0\);
• запись дробного числа в виде сложения элементарных дробей, имеющих неопределенные коэффициенты: \(\frac{Q(x)}{P(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + ⋯ \);
• приведение суммы в правой части выражения к единому знаменателю;
• приравнивание коэффициентов, которые принадлежат дробным числам с левой и правой стороны, при условии равенства степеней переменной;
• решение сформированной системы, состоящей из линейных уравнений, с последующим вычислением коэффициентов А, В, …

Примеры решения задач

Решение

Начнем решать задание по порядку. Проанализируем первое выражение из условия:
\(\frac{2x-7}{x^2+5x+6}\)

Заметим, что в данном случае имеется возможность для разложения знаменателя в виде записи множителей:

\(x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)\)

На следующем шаге необходимо воспользоваться стандартным алгоритмом действий и записать процесс разложения с учетом неопределенных коэффициентов:

\(\frac{2x-7}{x^2+5x+6} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}\)

Очевидна возможность для упрощения записи путем нескольких несложных математических преобразований:

\(\frac{2x-7}{x^2+5x+6} = \frac{A(x+3)+B(x+2)}{(x+2)(x+3)}\)

\(2x-7 = (A+B)x+(3A+2B)\)

Заметим наличие в алгебраическом соотношении идентичных степеней. Этот факт позволяет воспользоваться удобным приемом и уравнять коэффициенты:

\({\left\{ \begin{array}{c} A+B = 2 |\times 2 \\ 3A+2B = -7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2A+2B = 4 \\ 3A+2B = -7 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = -11 \\ B = 2-A = 13 \end{array} \right.}\)

По итогам решения простой системы получим искомый ответ. Таким образом, разложить первоначальное дробное число можно следующим способом:

\(\frac{2x-7}{x^2+5x+6} = -\frac{11}{x+2} + \frac{13}{x+3}\)

Перейдем ко второму выражению. Заметим, что по аналогии с предыдущими вычислениями в данном случае речь также идет о дробном рациональном числе:

\(\frac{4x+3}{x^2-1}\)

Вновь воспользуемся типичным алгоритмом действий. Согласно стандартной инструкции, которая уже знакома из теоретической части, выполним разложение знаменателя для получения нескольких множителей:

\(x^2-1 = (x-1)(x+1)\)

Далее воспользуемся эффективным приемом, чтобы разложить полученное математическое соотношение с учетом неопределенных коэффициентов:

\(\frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}\)

Продолжим несложные вычисления, как и с предыдущими примерами:

4x+3 = A(x+1)+B(x-1)

4x+3 = (A+B)x+(A-B)

В результате можно сформировать систему, которую достаточно просто решить:

\({\left\{ \begin{array}{c} A+B = 4 \\ A-B = 3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2A = 7 \\ 2B = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 3 \\ B = 0,5 \end{array} \right.}\)

Сформулируем окончательный ответ в виде записи разложения рационального дробного числа на слагаемые в форме элементарных дробей:

\(\frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{3,5}{x-1} + \frac{0,5}{x+1}\)

Разберем следующий пример:

\(\frac{x+15}{x^2-25}\)

Здесь также представлено рациональное дробное число, которое допустимо разложить на сумму с помощью стандартного алгоритма алгебраических операций. В данном случае сопроводим вычисления краткими пояснениями, так как процесс практически не отличается от решения предыдущих заданий. Выполним разложение знаменателя:

\(x^2-25 = (x-5)(x+5)\)

Воспользуемся приемом работы с неопределенными коэффициентами:

\(\frac{x+15}{x^2-25} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+5}\)

Продолжим математические преобразования:

x+15 = A(x+5)+B(x-5)

x+15 = (A+B)x+(5A-5B)

Сформируем систему из пары выражений, которую несложно решить стандартным способом:

\({\left\{ \begin{array}{c} A+B = 1 | \times 5 \\ 5A+5B = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5A+5B = 5 \\ 5A-5B = 5\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 10A = 20 \\ B = 1-A \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 2 \\ B = -1 \end{array} \right.}\)

В результате получим следующее справедливое равенство:

\(\frac{x+15}{x^2-25} = \frac{2}{x-5} - \frac{1}{x+5}\)

Перейдем к последнему примеру из задачи:

\(\frac{3x+8}{9x^2-4}\)

Руководствуясь полезной инструкцией, выполним математические действия и преобразования по порядку. Начнем с разложения знаменателя:

\(9x^2-4 = (3x-2)(3x+2)\)

Далее воспользуемся принципом разложения с учетом коэффициентов, которые являются неопределенными:

\(\frac{3x+8}{9x^2-4} = \frac{A}{3x-2} + \frac{B}{3x+2}\)

Продолжим вычисления по аналогии с другими примерами из этого задания:

3x+8 = A(3x+2)+B(3x-2)

3x+8 = (3A+3B)x+(2A-2B)

Составим систему для выполнения дальнейших расчетов:

\({\left\{ \begin{array}{c} 3A+3B = 3 \\ 2A-2B = 8 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A+B = 1 \\ A-B = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2A = 5 \\ 2B = -3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 2,5 \\ B = -1,5 \end{array} \right.}\)

В итоге несложных преобразований получилось следующее верное соотношение:

\(\frac{3x+8}{9x^2-4} = \frac{2,5}{3x-2} - \frac{1,5}{3x+2}\)

Ответ: \(\frac{2x-7}{x^2+5x+6} = -\frac{11}{x+2} + \frac{13}{x+3}; \frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{3,5}{x-1} + \frac{0,5}{x+1}; \frac{x+15}{x^2-25} = \frac{2}{x-5} - \frac{1}{x+5}; \frac{3x+8}{9x^2-4} = \frac{2,5}{3x-2} - \frac{1,5}{3x+2}.\)

Решение

Начнем с первого выражения. Заметим, что оно записано в виде рационального дробного числа. Таким образом, здесь целесообразно воспользоваться стандартным алгоритмом действий, рассмотренным ранее в теоретической части. Выполним поэтапно все необходимые преобразования и запишем ответ:

\(\frac{7x+18}{x^3+6x^2+9x} = \frac{7x+18}{x(x^2+6x+9)} = \frac{7x+18}{x(x+3)^2} = \frac{A^{/\times2(x+3)}}{x} + \frac{B^{/\times x(x+3)}}{x+3} + \frac{C /\times ^{x}}{(x+3)^2}\)

\(7x-11 = A(x+3)^2+Bx(x+3)+Cx = A(x^2+6x+9)+B(x^2+3x)+Cx = (A+B) x^2+(6A+3B+C)x+9A\)

\({\left\{ \begin{array}{c} A+B = 0 \\ 6A+3B+C = 7 \\ 9A = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 2 \\ B = -2 \\ C = 7-6A-3B = 7-12+6 = 1 \end{array} \right.}\)

В результате получим:

\(\frac{7x+18}{x^3+6x^2+9x} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x+3} + \frac{1}{(x+3)^2}\)

Перейдем к следующему дробному числу:

\(\frac{8x^3+3x^2-4}{x^4-16}\)

В этом примере расчеты несколько отличаются, но принцип действий остается без изменений:

\(\frac{8x^3+3x^2-4}{x^4-16} = \frac{8x^3+3x^2-4}{(x^2-4)(x^2+4)} = \frac{8x^3+3x^2-4}{(x-2)(x+2)(x^2+4)} = \frac{A^{/\times (x+2)(x^2+4)}}{x-2} + \frac{B^{/\times(x-2)(x^2+4)}}{x+2} + \frac{Cx+D^{/\times(x^2-4)}}{x^2+4}\)

\(8x^3+3x^2-4 = A(x+2)(x^2+4)+B(x-2)(x^2+4)+(Cx+D)(x^2-4) = A(x^3+2x^2+4x+8)+B(x^3+2x^2+4x-8)+C(x^3-4x)+D(x^2-4) = (A+B+C) x^3+(2A+2B+D) x^2+(4A+4B-4C)x+(8A-8B-4D)\)

\({\left\{ \begin{array}{c} A+B+C = 8 \\ 2A+2B+D = 3 \\ 4A+4B-4C = 0 \\ 8A-8B-4D = -4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A+B+C = 8 \\ 2A+2B+D = 3 \\ A+B-C = 0 \\ 2A-2B-D = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2(A+B) = 8 \\ 2C = 8 \\ 4A = 2 \\ 4B+2D = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} A = 0,5 \\ B = 4-A = 3,5 \\ C = 4 \\ D = 2-2B = -5 \end{array} \right.}\)

В итоге несложных математических преобразований и решения системы получим такой результат:

\(\frac{8x^3+3x^2-4}{x^4-16} = \frac{0,5}{x-2} + \frac{3,5}{x+2} + \frac{4x-5}{x^2+4}\)

Ответ: \( \frac{7x+18}{x^3+6x^2+9x} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x+3} + \frac{1}{(x+3)^2}; \frac{8x^3+3x^2-4}{x^4-16} = \frac{0,5}{x-2} + \frac{3,5}{x+2} + \frac{4x-5}{x^2+4}.\)