Разность кубов

Что такое разность кубов и куб разности

Для возведения чисел и выражений в степень, а также для упрощения умножения используют формулы сокращенного умножения. Благодаря им вычисления проводятся компактнее и быстрее. К ним относят формулу разности кубов, которую важно не путать с кубом разности.

$a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

Буквами a и b в формуле могут служить любые числа, переменные, одночлены и многочлены.

В этом определении квадрат суммы выражений называют неполным, поскольку он представляет собой сокращенный вариант формулы вида:

$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2.$

Как видно, в формуле разности кубов во второй скобке не удвоенное произведение, а одинарное.

${(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Вывод формулы разности кубов, как раскладывается

Формулу разности двух кубов можно вывести из куба разности .$a^3-b^3=\left(a-b\right)^3+3a^2b-3ab^2={(a-b)}^3+3ab(a-b)=(a-b)({(a-b)}^2+3ab)=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$Что и требовалось доказать.

Правила применения формул сокращенного умножения

Формулу разности кубов используют:

• для разложения многочленов на множители;
• для упрощения сложных выражений.

Основное свойство формул сокращенного умножения заключается в том, что они работают в обе стороны. Чтобы доказать это, достаточно пойти от обратного:

• раскрыть скобки;
• разложить многочлен на множители;
• сократить.

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$

Примеры задач с решением

Решение:

Данное произведение многочленов является правой частью формулы разности кубов. На месте a стоит $x^2$, а на месте b — 1. Тогда:

$(x^2-1)(x^4+x^2+1)=x^8-1$

Ответ: $x^8-1$

Решение:

По формуле, ${(4y)}^3-5^3=(4y-5)(16y^2+20y+25).$

Ответ: $(4y-5)(16y^2+20y+25).$