Разность кубов

Что такое разность кубов и куб разности

Для возведения чисел и выражений в степень, а также для упрощения умножения используют формулы сокращенного умножения. Благодаря им вычисления проводятся компактнее и быстрее. К ним относят формулу разности кубов, которую важно не путать с кубом разности.

Разность кубов двух переменных равна произведению разности этих переменных на неполный квадрат их суммы.

\(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Буквами a и b в формуле могут служить любые числа, переменные, одночлены и многочлены.

В этом определении квадрат суммы выражений называют неполным, поскольку он представляет собой сокращенный вариант формулы вида:

\(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2.\)

Как видно, в формуле разности кубов во второй скобке не удвоенное произведение, а одинарное.

Куб разности двух переменных равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое, минус куб второго выражения.

\({(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

Вывод формулы разности кубов, как раскладывается

Формулу разности двух кубов можно вывести из куба разности .\(a^3-b^3=\left(a-b\right)^3+3a^2b-3ab^2={(a-b)}^3+3ab(a-b)=(a-b)({(a-b)}^2+3ab)=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2) \)Что и требовалось доказать.

Правила применения формул сокращенного умножения

Формулу разности кубов используют:

  • для разложения многочленов на множители;
  • для упрощения сложных выражений.

Основное свойство формул сокращенного умножения заключается в том, что они работают в обе стороны. Чтобы доказать это, достаточно пойти от обратного:

  • раскрыть скобки;
  • разложить многочлен на множители;
  • сократить.

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3\)

Примеры задач с решением

Задача № 1

Упростить выражение (x^2-1)(x^4+x^2+1).

Решение:

Данное произведение многочленов является правой частью формулы разности кубов. На месте a стоит \(x^2\), а на месте b — 1. Тогда:

\((x^2-1)(x^4+x^2+1)=x^8-1\)

Ответ: \(x^8-1\)

Задача № 2

Представить в виде произведения множителей выражение \({(4y)}^3-5^3.\)

Решение:

По формуле, \({(4y)}^3-5^3=(4y-5)(16y^2+20y+25).\)

Ответ: \((4y-5)(16y^2+20y+25).\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»