Решение систем уравнений с двумя переменными

Что такое система уравнений с двумя переменными

При нахождении неизвестных и подстановке их значений, уравнения становятся истинными равенствами.

Способы решения

Такие уравнения можно решить:

• подстановкой;
• домножением и сложением;
• построением графиков;
• введением новых переменных.

Способ подстановки

Известна одна переменная, а нужно найти вторую. Для этого необходимо подставить известную переменную в одно из уравнений системы. Суть в том, что раз это система, то в обоих уравнениях имеются в виду одни и те же переменные. Получится простое линейное уравнение. Решив его, можно узнать значение второй переменной.

Пример 1

\(\left\{\begin{array}{l}z-2t=8\\2z+t=1\end{array}\right.\)

Известно, что z=2. Тогда можно найти t, подставив значение z в уравнение номер 2.

Получим:

2×2+t=1

4+t=1

t=1−4

t=−3

В случае подстановки известного значения z=2 в уравнение номер 1 результат будет такой же:

2−2t=8

−2t=8−2

−2t=6

t=6÷(−2)

t=−3

С более сложными уравнениями, когда изначально ни для одной переменной точного значения не дано, этот метод работает точно так же.

Пример 2

\(\left\{\begin{array}{l}3p-c=2\\6p-2c=6\end{array}\right.\)

Не установлены значения ни для p, ни для c. Поэтому нужно воспользоваться первым уравнением и выразить переменную c из него:

с=3p−2

Теперь значение одной из переменных известно. Далее, пользуясь стандартным алгоритмом из примера 1, нужно подставить полученное значение c во второе уравнение.

Получится:

6p−2×(3p−2)=6

Теперь надо его решить:

6p-6p+4=6

4=6

Это равенство неверное, потому что не существует таких значений для p и с, чтобы 4=6.

Ответ: решений нет.

Способ сложения

Если даны два верных равенства в системе уравнений, то можно складывать их правые и левые части, и равенство получится тоже верным.

В системе линейных уравнений складывать нужно левые и правые части каждого из них. Для того, чтобы избавиться, если это возможно, от одной из переменных. Цель — прийти к простому уравнению с одной переменной, которое не требует сложного решения.

Пошаговое решение 

\(\left\{\begin{array}{l}2n-5m=8\\n+5m=19\end{array}\right.\)

1. Надо сложить отдельно правую часть первого уравнения с правой частью второго, а левую — с левой.

2n−5m+n+5m=8+19

2. Произвести необходимые вычисления (привести подобные в левой части и произвести сложение в правой) и найти значение одной из переменных. Получится:

3n=27

n=27÷3

n=9

3. Подставить полученное значение n в одно из уравнений системы (в любое), чтобы найти значение второй переменной. Выберем, например, уравнение номер 1:

2×9−5m=8

18−5m=8

−5m=8−18

−5m=−10

m=2

Ответ: n=9, m=2.

Замечание при решении уравнения

В примере выше изначально были даны уравнения с одинаковыми по модулю коэффициентами слагаемых (−5m и 5m). Такое явление нельзя назвать частым. Поэтому необходим навык приведения любых уравнений системы к такому виду. Для этого нужно научить способу домножения обеих частей уравнения на одно и тоже число, не равное нулю. 

Пример

\(\left\{\begin{array}{l}4v+9t=1\\5v-18t=-28\end{array}\right.\)

В уравнении номер 2 видим переменную с числовым коэффициентом −18. А в первом ту же переменную с коэффициентом 9. Нам нужно сделать так, чтобы эта переменная убралась. Для этого нужно из 9 сделать 18. Возьмем уравнение номер 1. Произведем умножение обеих его частей на 2. Получим:

8v+18t=2

Теперь в обоих уравнениях есть одинаковые слагаемые, которые можно сократить. Для этого выполним метод сложения соответствующих частей обоих уравнений друг с другом.

Получим:

8v+18t+5v−18t=2+(−28)

13v=−26

v=−26÷13

v=−2

Теперь можно поставить полученное значение v в первое (или в любое) уравнение, чтобы найти t:

4×(−2)+9t=1

−8+9t=1

9t=1+8

9t=9

t=1

Ответ: v=−2, t=1

Графический способ

Суть способа в том, чтобы изобразить оба данных уравнения с помощью системы координат и произвести поиск точек пересечения их графиков.

Системные уравнения имеют графики в виде прямых:

• пересекающиеся означают, что решение только одно;
• параллельные — что решений нет;
• совпадающие — что решений множество.

Как нарисовать графики уравнений

Пример 

\(\left\{\begin{array}{l}2x+3y=5\\3x-y=-9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x+3y=5\\3x-y=-9\end{array}\right.\)

1. Сначала нужно выразить из каждого уравнения переменную y через x для получения функции:

\(\left\{\begin{array}{l}y=\begin{pmatrix}5&-2x\end{pmatrix}\div3\\y=3x+9\end{array}\right.\)

2. Затем приступаем к самому процессу построения графиков получившихся функций. Для этого нужно найти координаты всего лишь двух точек для каждой функции. Нужно взять любое значение x и подставить его сначала в первое уравнение, чтобы получить его координаты. Затем то же самое проделать со вторым для нахождения его координат:

• для первого уравнения, если x=1, то y=1; 
• для второго уравнения, если x=−4, то y=−3.

Чертим графики, используя получившиеся точки. Получаются две прямые.

3. Находим точку пересечения графиков: она имеет координаты (−2;3). Это и будет решением данной системы уравнений.

Точка пересечения

Это понятие обозначает место, где два графика пересекают друг друга. Такая точка в системе линейных уравнений может быть только одна. Нахождение точки пересечения графиков функций, полученных при выражении y из уравнений системы — это и есть графическое решение любой системы уравнений. Это хорошо показано на примере в предыдущем подпункте (п.3).

Способ введения новых переменных

Это свойство систем уравнений имеет целью упрощение этих систем для более быстрого решения.

Существует два варианта подобного пути:

• введение одной новой переменной и только в одном уравнении системы;
• введение двух новых переменных в обоих уравнениях в одно и то же время.

Как вводить новую переменную

Новая переменная\ые вводятся вместо повторяющихся в уравнении сочетаний, заменяют их и тем самым упрощают всю систему. В результате замены получается два простых линейных уравнения, которые легко решаются.

Пример 1

\(\left\{\begin{array}{l}mn\times\begin{pmatrix}m&+n\end{pmatrix}=6\\mn+\begin{pmatrix}m&+n\end{pmatrix}=5\end{array}\right.\)

Вводим 2 новые переменные: вместо mn будет t, а вместо m+n поставим z. Это поможет упростить систему, получится:

\(\left\{\begin{array}{l}t\times z=6\\t+z=5\end{array}\right.\)

Далее легко найти значения переменных в получившихся уравнениях: 

\(\left\{\begin{array}{l}t_1=2\\z_1=3\end{array}\right.\)

и

\(\left\{\begin{array}{l}t_2=3\\z_2=2\end{array}\right.\)

Далее нужно просто подставить эти значения вместо тех, которые заменяли введенные переменные, и дорешать получившиеся уравнения.

Пример 2

\(x\left\{\begin{array}{lc}\frac2{2m-n}&+\frac3{m-2n}=\frac12\\\frac2{2m-n}&-\frac1{m-2n}=\frac1{18}\end{array}\right.\)

Вводим новые переменные: 

\(\frac2{2m-n} \)

заменим на t, а вместо

\(\frac1{m-2n}\)

поставим z. Теперь система примет такой вид: 

\(\left\{\begin{array}{l}t+3z=\frac12\\t-z=\frac1{18}\end{array}\right.\)

Далее по методу сложения вычтем второе уравнение из первого. Получим:

\(\left\{\begin{array}{l}4z=\frac49\\t=\frac1{18}+z\end{array}\right.\)

Вычисляем корни, имеем:

\(\left\{\begin{array}{l}z=\frac19\\t=\frac16\end{array}\right.\)

Теперь вернем старые переменные:

\(\left\{\begin{array}{l}\frac2{2m-n}=\frac16\\\frac1{m-2n}=\frac19\end{array}\right.\)

Преобразуем:

\(\left\{\begin{array}{l}2m-n=12\neq0\\m-2n=9\neq0\end{array}\right.\)

Дальше используем подстановку:

\(\left\{\begin{array}{l}2\begin{pmatrix}9&+2n\end{pmatrix}-n=12\\m=9+2n\end{array}\right.\)

Решаем оба уравнения. В первом получается:

18+4n-n=12

3n=−6

n=−2

Во втором имеем:

m=9+2n

Подставляем значение n=−2: 

m=9+(2×(−2)

m=9+(−4)

m=5

Решение системы (5;−2).