Правила сложения и вычитания алгебраических дробей

Сложение и вычитание алгебраических дробей
 

Для того чтобы производить операции с дробями, необходимо знать их основное свойство. Оно состоит в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Основные правила, операции без преобразования

Главное правило сложения и вычитания дробей заключается в том, что операции можно проводить только между дробями с одинаковым знаменателем.

Если знаменатели двух дробей одинаковы, то можно сразу сложить или вычесть, в зависимости от задачи, числители этих дробей, а знаменатель оставить прежним. Если это возможно, дробь нужно сократить.

Общее правило сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем выглядит следующим образом:

\(\frac ab\pm\frac cb=\frac{a\pm c}b,\)

где a, b и с — натуральные числа, \(b\neq0.\)

Если знаменатели разные, дроби необходимо заменить на эквивалентные с одинаковым знаменателем. Выполнить операцию необходимо уже с этими новыми дробями. Распространяется это как на положительные, так и на отрицательные дроби.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Для каждой дроби существует бесконечное количество эквивалентных дробей. Это значит, что обязательно есть знаменатель, являющийся одинаковым для двух или более дробей, с которыми производится действие. Такой знаменатель называют общим.

Чтобы упростить вычисления, обычно используют метод наименьшего общего кратного.

Как видно из последних двух примеров, НОК зачастую меньше, чем производное двух данных чисел. Благодаря НОК можно значительно сократить запись решения, поскольку отпадает нужда в ненужном сокращении дробей.

Чтобы найти НОК, необходимо разложить знаменатели обеих дробей на простые множители, а затем выбрать в разложении наименьшего знаменателя множители, не вошедшие в разложение большего знаменателя, и добавить их туда. После чего перемножить все полученные множители.

В разложение наименьшего знаменателя 12 вошли множители 3, 2 и 2. А в разложении наибольшего знаменателя 18 множитель 2 встречается только один раз, в нем не хватает еще одного множителя 2. Поэтому мы добавляем его к множителям числа 18. Получаем:

\(НОК\;(12;18)=3\cdot3\cdot2\cdot2=36.\)

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти не только НОК, но и дополнительный множитель. Это такой множитель, на который необходимо умножить каждую из дробей. Для этого необходимо поделить НОК на знаменатель каждой дроби.

Следовательно, дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй – 2.

Затем каждую дробь необходимо умножить на дополнительный множитель и произвести действия с полученными дробями с одинаковыми знаменателями.

Таким образом, можно сформулировать алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей.
2. Найти дополнительный множитель для каждой дроби.
3. Умножить изначальные дроби на дополнительный множитель, чтобы привести их к общему знаменателю, преобразовав в эквивалентные дроби.
4. Провести операцию сложения или вычитания между числителями, а знаменатель оставить неизменным. При возможности дробь сократить.

С помощью формул сокращенного умножения

Иногда в знаменателе находится не простое число, а выражение, так что найти НОК не удается. В таких случаях стоит присмотреться к выражению в знаменателе: возможно, там будет формула сокращенного умножения. К таким формулам относят:

• квадрат суммы: \({(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\)
• квадрат разности: \({(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\)
• разность квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
• куб суммы: \({(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
• куб разности: \({(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
• сумма кубов: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
• разность кубов: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

С вынесением общего множителя за скобки

При нахождении общего знаменателя может понадобиться разложить исходный сложный знаменатель на множители, чтобы упростить его.

С одночленом или числом

Если необходимо сложить (вычесть) дробь и натуральное число, необходимо представить это число в виде дроби с тем же знаменателем. Результатом вычисления может получиться неправильная дробь — в таком случае необходимо преобразовать ее в смешанное число.

Если число не целое, а смешанное, то работать нужно отдельно с целыми и дробными частями.

В случае с одночленами, то есть выражениями с одной переменной, действия производятся так же, как и с целыми числами. Одночлен необходимо представить в виде дроби.