Сложение и вычитание корней

Сложение корней, формулы

Складывать подобные квадратные корни, то есть иррациональные выражения с одинаковым основанием, очень просто. Для этого суммируют множители слагаемых, а подкоренное число остается неизменным:

\(m\sqrt a+n\sqrt a=\left(m+n\right)\sqrt a\)

В случае со сложением корней с разными подкоренными значениями нужно привести их к подобию. Упрощение корневых чисел выполняют по следующему алгоритму:

1. Раскладывание подкоренного числа на два множителя так, чтобы один из них являлся числом, из которого извлекается целый квадратный корень.
2. Извлечение корня из квадратного числа, запись ответа перед символом корня. Второй множитель остается под знаком корня.
3. Упрощенные корни с одинаковым основанием можно складывать как подобные.

Пример

\(3\sqrt{50}+2\sqrt8+\sqrt{12}\)

\(3\sqrt{50}=3\sqrt{25\times2}=3\times5\sqrt2=15\sqrt2\)

\(2\sqrt8=2\sqrt{4\times2}=2\times2\sqrt2=4\sqrt2\)

\(\sqrt{12}\;=\sqrt{4\times3}=2\times1\sqrt2=2\sqrt2\)

После упрощения исходное выражение приобретает вид:

\(15\sqrt2+4\sqrt2+2\sqrt2=21\sqrt2\)

Вычитание корней, формулы

При вычитании подобных корней вычитаются их множители, а подкоренное выражение не меняется:

\(m\sqrt a-n\sqrt a=\left(m-n\right)\sqrt a\)

Чтобы узнать разность иррациональных чисел с разным основанием, нужно привести уменьшаемое и вычитаемое к единому образцу. Для этого используют тот же алгоритм, что и перед сложением.

Пример

\(4\sqrt{75}-3\sqrt{24}\)

\(4\sqrt{75}=4\sqrt{25\times3}=4\times5\sqrt3=20\sqrt3\)

\(3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=3\times2\sqrt3=6\sqrt3\)

Упростив, получаем:

\(20\sqrt3-6\sqrt3=14\sqrt3\)

Сложение корней со степенями

Складывание и вычитание корней с разными степенями, но одинаковым основанием имеет следующую последовательность:

Допустим, надо решить данное выражение:

\(\sqrt[3]а+\sqrt[4]а\)

Для начала проведем процедуру упрощения:

\(\sqrt[3]а+\sqrt[4]а=12\times\sqrt a^4+12\times\sqrt a^3\)

\(12\times\sqrt a^4+12\times\sqrt a^3=12\times\sqrt{a^4+a^3}\)

При приведении двух подобных членов к общему показателю корневого числа применяется одно из свойств корней. Оно звучит так: при умножении степени основания и показателя корня на одинаковое число вычисление корневого выражения не поменяется.

Примеры решения задач

Задача №1

Упростить выражение:

\(\sqrt{{(2-\sqrt5)}^2}\)

По свойству квадратного корня:

\(\sqrt{{(2-\sqrt5)}^2}=\left|2-\sqrt5\right|\)

Для выведения из модуля необходимо узнать знак получившегося выражения:

\(2=\sqrt4\)

\(4<5\)

Значит, \(\sqrt4<\sqrt5\)

Тогда \(2-\sqrt5<0\)

Таким образом:

\(\sqrt{{(2-\sqrt5)}^2}=\left|2-\sqrt5\right|=-(2-\sqrt5)=\sqrt5-2\)

Ответ: \(\sqrt5-2\)

Задача №2

Упростите выражение:

\(\sqrt{{(а-2)}^2}+\sqrt{{(а-4)}^2}\) при \(2\leq а\leq4\)

Из основного свойства квадратного корня:

\(\sqrt{{(а-2)}^2}+\sqrt{{(а-4)}^2}=\left|а-2\right|+\left|а-4\right|\)

Раскроем модули в промежутке \(2\leq а\leq4\):

\(\vert а-2\vert=а-2,\;т.к.\;а-2\geq0\)

\(\vert а-4\vert=4-а,\;т.к.\;а-4\leq0\)

Следовательно, \(\vert а-2\vert+\vert а-4\vert=а-2+4-а=2\)

Ответ: 2.