Сложение и вычитание корней
Действие сложения и вычитания квадратных корней возможно лишь при условии одинаковости подкоренных выражений слагаемых.
Сложение корней, формулы
Складывать подобные квадратные корни, то есть иррациональные выражения с одинаковым основанием, очень просто. Для этого суммируют множители слагаемых, а подкоренное число остается неизменным:
\(m\sqrt a+n\sqrt a=\left(m+n\right)\sqrt a\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В случае со сложением корней с разными подкоренными значениями нужно привести их к подобию. Упрощение корневых чисел выполняют по следующему алгоритму:
- Раскладывание подкоренного числа на два множителя так, чтобы один из них являлся числом, из которого извлекается целый квадратный корень.
- Извлечение корня из квадратного числа, запись ответа перед символом корня. Второй множитель остается под знаком корня.
- Упрощенные корни с одинаковым основанием можно складывать как подобные.
Пример
\(3\sqrt{50}+2\sqrt8+\sqrt{12}\)
\(3\sqrt{50}=3\sqrt{25\times2}=3\times5\sqrt2=15\sqrt2\)
\(2\sqrt8=2\sqrt{4\times2}=2\times2\sqrt2=4\sqrt2\)
\(\sqrt{12}\;=\sqrt{4\times3}=2\times1\sqrt2=2\sqrt2\)
После упрощения исходное выражение приобретает вид:
\(15\sqrt2+4\sqrt2+2\sqrt2=21\sqrt2\)
Подкоренные выражения между собой не суммируются и не вычитаются. При этом выражения под одним корнем складываются и вычитаются как обычные числа.
Вычитание корней, формулы
При вычитании подобных корней вычитаются их множители, а подкоренное выражение не меняется:
\(m\sqrt a-n\sqrt a=\left(m-n\right)\sqrt a\)
Чтобы узнать разность иррациональных чисел с разным основанием, нужно привести уменьшаемое и вычитаемое к единому образцу. Для этого используют тот же алгоритм, что и перед сложением.
Пример
\(4\sqrt{75}-3\sqrt{24}\)
\(4\sqrt{75}=4\sqrt{25\times3}=4\times5\sqrt3=20\sqrt3\)
\(3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=3\times2\sqrt3=6\sqrt3\)
Упростив, получаем:
\(20\sqrt3-6\sqrt3=14\sqrt3\)
Сложение корней со степенями
Складывание и вычитание корней с разными степенями, но одинаковым основанием имеет следующую последовательность:
Допустим, надо решить данное выражение:
\(\sqrt[3]а+\sqrt[4]а\)
Для начала проведем процедуру упрощения:
\(\sqrt[3]а+\sqrt[4]а=12\times\sqrt a^4+12\times\sqrt a^3\)
\(12\times\sqrt a^4+12\times\sqrt a^3=12\times\sqrt{a^4+a^3}\)
При приведении двух подобных членов к общему показателю корневого числа применяется одно из свойств корней. Оно звучит так: при умножении степени основания и показателя корня на одинаковое число вычисление корневого выражения не поменяется.
Показатели степени корней складываются только при умножении.
Примеры решения задач
Задача №1
Упростить выражение:
\(\sqrt{{(2-\sqrt5)}^2}\)
По свойству квадратного корня:
\(\sqrt{{(2-\sqrt5)}^2}=\left|2-\sqrt5\right|\)
Для выведения из модуля необходимо узнать знак получившегося выражения:
\(2=\sqrt4\)
\(4<5\)
Значит, \(\sqrt4<\sqrt5\)
Тогда \(2-\sqrt5<0\)
Таким образом:
\(\sqrt{{(2-\sqrt5)}^2}=\left|2-\sqrt5\right|=-(2-\sqrt5)=\sqrt5-2\)
Ответ: \(\sqrt5-2\)
Задача №2
Упростите выражение:
\(\sqrt{{(а-2)}^2}+\sqrt{{(а-4)}^2}\) при \(2\leq а\leq4\)
Из основного свойства квадратного корня:
\(\sqrt{{(а-2)}^2}+\sqrt{{(а-4)}^2}=\left|а-2\right|+\left|а-4\right|\)
Раскроем модули в промежутке \(2\leq а\leq4\):
\(\vert а-2\vert=а-2,\;т.к.\;а-2\geq0\)
\(\vert а-4\vert=4-а,\;т.к.\;а-4\leq0\)
Следовательно, \(\vert а-2\vert+\vert а-4\vert=а-2+4-а=2\)
Ответ: 2.
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так