Какие углы называются смежными, а какие вертикальными

Смежные и вертикальные углы – определение

Теорема о смежных и вертикальных углах

Доказательство данного положения легко узнать на практике при помощи построения. Так как у СУ есть общая сторона, это значит, что они расположены на развернутом угле. А поскольку такая геометрическая фигура равна 180°, то и сумма СУ будет приравниваться к этому же значению.

Следствием из данной теории будет то, что если смежные углы равны, то они прямые. ПУ = 90°. Это есть половина от величины развернутого угла, на котором и находятся два СУ.

Еще одно следствие. Если два угла равны, то смежные с ними тоже имеют одно значение.

Теорема о вертикальных углах гласит, что ВУ равны. Доказательство: Рассмотрим ВУ AOB и COD. ∠BOD смежный для каждого из ∠AOB и ∠COD. По теореме 1 ∠АОВ+∠BOD=180°, ∠COD+∠BOD=180°. Из этого ∠АОВ=∠COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD. Они образуют четыре угла. Если один из них прямой, то остальные также прямые (1 и 2, 1 и 4 — смежные, 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Смежные углы

Перечислим не отмеченные ранее свойства СУ:

• угол, смежный с прямым, является прямым; смежный с острым – тупым; смежный с тупым – острым;
• чем больше угол, тем меньше СУ, и наоборот;
• биссектрисы СУ образуют прямой угол.

Приведем пример решения задачи со СУ.

Задача

∠1 и ∠2 – смежные, ∠1 : ∠2 = 3 : 7.

Найти ∠1 и ∠2.

Решение

Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда ∠1=3х, ∠2=7х. Так как ∠1+∠2=180°(по теореме о СУ), то 3х+7х=180°, 10х=180°, х=18°. Следовательно ∠1=3×18°=54°, ∠2=7×18°=126°

Ответ: ∠1=54°, ∠2= 126°.

Вертикальные углы

Отметим также неупомянутые свойства ВУ:

• ВУ по-другому называют углом между двумя прямыми;
• биссектрисы ВУ лежат на одной прямой.

Приведем пример решения задачи с ВУ.

Задача

Пусть на рисунке 1 ∠COD равен 45°. Чему равны ∠AOB и ∠AOC ?

Решение

Так как ∠COD и ∠AOB вертикальные, то значит, они равны, а тогда:

\(\angle AOB=\angle COD=45^\circ\)

\(∠AOB\angle AOB+\angle AOC=180^\circ\)

Из этого \(\angle AOC=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-45^\circ=135^\circ.\)