Смешанные дроби

Что такое смешанная дробь

По сути, данное понятие представляет собой сумму целого числа и правильной дроби:

\(a\frac bc\;=\;a+\frac bc\)

Пример:

\(7\frac34\;=\;7+\frac34\)

Превращение смешанной дроби в неправильную

Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь. Для этого необходимо к произведению целой части и знаменателя дробной части прибавить числитель. Полученная сумма будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Преобразование смешанной дроби в неправильную можно записать в виде формулы:

\(a\frac bc\;=\;\frac{a\times c+b}c\)

Пример:

\(15\frac89\;=\;\frac{15\times9+8}9\;=\;\frac{143}9\)

Выполнение действий со смешанными дробями, формулы и примеры

Сложение

Чтобы посчитать сумму смешанных дробей необходимо отдельно сложить их целые компоненты и дробные составляющие. Правильные дроби в составе смешанных чисел суммируются при помощи приведения к наименьшему общему знаменателю.

Формульное выражение сложения смешанных чисел:

\(a\frac bc+d\frac ef=\left(a+d\right)+\left(\frac bc+\frac ef\right)\)

Пример:

\(2\frac13+5\frac47\;\)

Вычисляем наименьший общий знаменатель дробных слагаемых:

3×7=21

\(2\frac13+5\frac47=2+5+\frac13+\frac47\;=7+\frac7{21}+\frac{12}{21}=7+\frac{7+12}{21}=7\frac{19}{21}\)

Вычитание

Чтобы из одной смешанной дроби вычесть другую, нужно дробные компоненты уменьшаемого и вычитаемого привести к минимальному общему знаменателю, затем выполнить вычитание отдельно целых и дробных частей.

Формула для ситуации, когда дробь в составе уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:

\(a\frac bc-d\frac ef=\left(a+\frac bc\right)-\left(d+\frac ef\right)\;=\left(a-d\right)+\left(\frac bc-\frac ef\right)\)

В случае, когда дробь в составе уменьшаемого меньше дроби в составе вычитаемого, необходимо меньшую дробь превратить в неправильную, отняв единицу от целой части уменьшаемого, то есть:

\(a\frac bc-d\frac ef=\left(\left(a-d\right)-\frac ef\right)+\frac bc\)

Пример:

\(13\frac38-6\frac12\)

Для решения этого выражения найдем наименьший общий знаменатель:

8=2×2×2, следовательно, 8 — это наименьший общий знаменатель.

\(13\frac38-6\frac12=13\frac38-6\frac48=\left(12+1+\frac38\right)-6\frac48=\left(12+\frac{1\times8+3}8\right)-6\frac48=12\frac{11}8-6\frac48=\left(12-6\right)+\left(\frac{11}8-\frac48\right)=6+\frac{11-4}8=6\frac78\)

Умножение и деление

Перед тем, как умножать или делить смешанные числа, необходимо преобразовать их в неправильные дроби. После этого можно производить нужное действие по правилам умножения и деления обыкновенных дробей.

Формула умножения смешанных чисел выглядит так:

\(a\frac bc\times d\frac ef=\frac{a\times c+b}c\times\frac{d\times f+e}f=\frac{\left(a\times c+b\right)\times\left(d\times f+e\right)}{c\times f}=\frac{\left(ac+b\right)\left(df+e\right)}{cf}\)

Формула деления смешанных дробей:

\(a\frac bc\div d\frac ef=\frac{a\times c+b}c\div\frac{d\times f+e}f=\frac{a\times c+b}c\times\frac f{d\times f+e}=\frac{\left(a\times c+b\right)\times f}{c\times\left(d\times f+e\right)}=\frac{f\left(ac+b\right)}{c\left(df+e\right)}\)

Пример 1:

\(5\frac2{19}\times2\frac79=\frac{5\times19+2}{19}\times\frac{2\times9+7}9=\frac{97}{19}\times\frac{25}9=\frac{97\times25}{19\times9}=\frac{2425}{171}=14\frac{31}{171}\)

Пример 2:

\(4\frac23\div3\frac57=\frac{4\times3+2}3\div\frac{3\times7+5}7=\frac{14}3\div\frac{26}7=\frac{14}3\times\frac7{26}=\frac{14\times7}{3\times26}=\frac{98}{78}=\frac{98\div2}{78\div2}=\frac{49}{39}=1\frac{10}{39}\)

При умножении смешанной дроби на натуральное число преобразование в неправильную дробь делать не нужно. Такого рода вычисления производятся с помощью распределительного закона умножения.

Пример 3:

\(3\frac56\times4=\left(3+\frac56\right)\times4=3\times4+\frac56\times4=12+\frac{5\times4}6=12+\frac{20\div2}{6\div2}=12+\frac{10}3=12+3\frac13=15\frac13\)

Если требуется разделить смешанную дробь на натуральное число или натуральное число на смешанную дробь, нужно представить делимое и делитель в виде неправильной дроби, затем выполнить необходимое действие, как с обыкновенными дробями.

Пример 4:

\(5\div3\frac27=\frac51\div\frac{3\times7+2}7=\frac51\div\frac{23}7=\frac51\times\frac7{23}=\frac{5\times7}{1\times23}=\frac{35}{23}=1\frac{12}{23}\)

Если нужно выполнить умножение или деление смешанной дроби на обыкновенную дробь, смешанное число необходимо преобразовать в неправильную дробь. После преобразований нужное действие производится по такому же алгоритму, как с обыкновенными дробями.

Пример 5:

\(\frac34\div6\frac12=\frac34\div\frac{6\times2+1}2=\frac34\div\frac{13}2=\frac34\times\frac2{13}=\frac{3\times1}{2\times13}=\frac3{26}\)