Смежные углы

Свойства и виды смежных углов в геометрии

1. Так как две стороны смежных углов образуют прямую линию, то вместе они составляют развернутый угол. Его градусная мера составляет 180^\circ. Следовательно — сумма смежных углов тоже равна \(180^\circ.\)
2. Если две прямые пересекаются, то они образуют две пары смежных углов: \(\angle1\) и \(\angle2\), \(\angle3\) и \(\angle4\), а также \(\angle1\) и \(\angle3\), \( \angle2\) и \(\angle4\). При этом объединение пар, которые обозначены обозначениями 1 и 4, 2 и 3, представляют из себя вертикальные углы, а значит — они равны. Поэтому рассматривать можно только одну из пар смежных углов, другая окажется идентична по всем показателям.
3. У смежных углов одинаковые синусы.
4. Для косинусов и тангенсов тоже распространяется равенство, но их значения противоположны по знаку.
5. Чтобы построить смежный угол уже заданному, требуется продлить одну из сторон существующего угла дальше вершины.

Если один из углов является прямым, то второй тоже прямой.

Как найти, чему равна сумма

Сумма смежных углов всегда составляет 180 градусов.

Отсюда следует формула:

\(\angle\alpha+\angle\beta=180^\circ\)

\(\angle\alpha=180^\circ-\angle\beta\)

\(\angle\beta=180^\circ-\angle\alpha\)

Примеры решения задач

Задача №1

Дано: \(\angle\alpha\) и \(\angle\beta\) — смежные, \(\angle\beta=60^\circ\).

Найти: чему равен \(\angle\alpha\).

Решение

Так как углы смежные, значит:

\(\angle\alpha+\angle\beta=180^\circ.\)

\(\angle\alpha=180^\circ-\angle\beta.\)

\(\angle\alpha=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\)

Ответ: \(\;\angle\alpha=120^\circ\).

Задача №2

Дано: \( \angle\alpha\) и \(\angle\beta\) — смежные, \(\angle\alpha\) на \(30^\circ\) больше, чем \(\angle\beta.\)

Найти: чему равны \(\angle\alpha\) и \(\angle\beta.\)

Решение

Допустим,\( \angle\beta=x\), тогда \(\angle\alpha=x+30^\circ.\) 

Так как сумма смежных углов равна 180 градусов, то получаем уравнение, которое выглядит, как:

\(x+x+30^\circ=180^\circ\)

\(2x=180^\circ-30^\circ\)

\(2x=150^\circ\)

\(x=75^\circ\)

Значит, величина \(\angle\beta=75^\circ.\)

Чтобы найти \(\angle\alpha\), нужно выполнить стандартные вычисления согласно теореме о сумме:

\(\angle\alpha=180^\circ-\angle\beta=180^\circ-75^\circ=105^\circ.\)

Ответ: \(\angle\alpha=105^\circ.\)