Основные сведения о способах задания функции, примеры решения задач

Способы задания функций

«Задать функцию» означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной (из числа возможных) следует находить соответствующие им значения функции.

Табличный способ

х 1 2 3 4 5 6
у 2 4 6 8 10 12

При этом способе задания функции в таблицу вносятся значения независимой переменной х и соответствующие им значения зависимой переменной у. Такой способ широко распространен: таблицы логарифмов, корней, степеней чисел.

Основное преимущество табличного способа задания функции — возможность, не проводя дополнительных измерений и вычислений, определить те или другие конкретные значения сразу, если известен аргумент. Недостатком способа является то, что таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента: в ней отсутствуют промежуточные значения и в целом их количество ограничено. Также таблица не дает полного представления о характере зависимости функции от изменения аргумента.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Применение табличного способа оправдано в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством. В некоторых случаях с помощью интерполяции можно приближенно вычислить значения функции, отсутствующие в таблице и соответствующие промежуточным значениям аргумента.

Графический способ

Графический способ

При графическом способе в системе координат строится график, множество точек которого соответствуют уравнению y=f(x), задающему функцию. Ось абсцисс задает значения аргумента, ось ординат — функции.

Главный недостаток графического способа задания функции заключается в том, что с помощью графика, даже зная численное значение аргумента, невозможно точно определить значение функции. Однако этим способом часто пользуются в физике и технике, так как благодаря своей наглядности он позволяет представить характер заданной функции в целом.

Часто графическое задание функции комбинируют с аналитическим способом, а именно с уравнением, задающим данный график. Такое сочетание позволяет представить функцию наглядно, и при этом точно рассчитать необходимые значения.

Аналитический способ

Аналитический способ состоит в том, что связь между аргументом и функцией выражается с помощью формулы, представляющей собой уравнение. В левой части уравнения находится зависимая переменная у, в правой — выражение, состоящее из независимой переменной х, постоянных, математических операций и известных элементарных функций. Такой способ задания функции очень распространен, так как дает возможность для каждого возможного значения аргумента найти соответствующее ему значение функции точно или с большой точностью.

Зависимость от x задана явно, если уравнение имеет вид y = f(x).

Если формула выглядит как F(x,y) = 0, то функция задана неявно.

Достоинства этого способа: компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа. Недостатком является отсутствие наглядности, которое можно компенсировать построением графика.

Пример 1

\( у=х-2\)

Интервальный способ

Функция может быть определена разными формулами на разных интервалах значения аргумента.

Пример 2

 \(y=\left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{x^2+x+2},\;x>3\\x^2-1,\;x\leq3\end{array}\right.\)

Параметрический способ

Для выражения функции параметрическим способом вводится дополнительная переменная t, через которую задают значения х и у.

\(\left\{\begin{array}{l}у=у(t)\\x=x(t)\end{array}\right.\)

Пример 3

 \(\left\{\begin{array}{l}у=\sin t\\x=\cos3t\end{array}\right.\)

Словесный способ

При выражении функции словесным способом, характер зависимости выражен словами.

Пример 4

 Функция \(E(x) = [x]\) — целая часть числа х. 

Такой функцией обозначают наибольшее из целых чисел, которое меньше либо равно x. Если x=а+b, где а — целое число, а ∈ [0; 1), то [x] = а. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [a; a+1), и на нем [x] = a.

Пример 3

Функция \(y = {x}\) — дробная часть числа х.

\(y ={x} = x - [x]\), где [x] — целая часть числа x. Если x — произвольное число, то его можно представить в виде \(x=а+b (а = [x])\), где a — целое число и b∈[0; 1), поэтому \({x}=a+b-a=b\).

Недостатками данного способа задания функции являются невозможность проведения сложных вычислений и отсутствие наглядности. Главное преимущество — возможность задать те функции, которые сложно выразить аналитически.

Пример решения задачи

 Дано: функция задана уравнением \(у=х^2+1\).

Найти: построить график функции и составить таблицу для целых значений \(х∈[0; 5]\).

Решение:

Задача
х 0 1 2 3 4 5
у 1 2 5 10 17 26

Задача

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»