Среднеквадратичное отклонение

Что такое среднеквадратичное отклонение

Рассматривая какие-либо величины или их изменения, используют такие критерии как среднеарифметическая величина и ее отклонение. Различные понятия позволяют оценить разброс измеряемой величины и ее отклонение. К ним относится абсолютная погрешность, которая показывает насколько каждая конкретная величина отличается от среднего значения. Но так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю, то этот критерий не позволяет показать разброс измеряемых величин. И для решения этой задачи был введен новый показатель — среднее квадратичное отклонение.

Для того чтобы объяснить его смысл необходимо вспомнить некоторые основные математические понятия.

Со средней величиной непосредственно связана и другая характеристика — математическое ожидание.

А оценкой математического ожидания является среднее арифметическое определенного числа измерений изучаемой величины.

Она обозначается греческой буквой D. Для того чтобы найти варианту единичного измерения ai следует отнять от ее значение среднее арифметическое:

\(Da_i=a_i-M\)

Также для оценки единичного измерения используется и относительная погрешность, значение которой выражается в процентах. Ее вычисление проводят по формуле:

\(\sigma=\frac{\left|\triangle a_i\right|}M\times100\%\)

Относительная погрешность каждой величины позволяет отбросить из вариации измерений значения с очень большой погрешностью и проводить дальнейший анализ только величин с незначительной относительной погрешностью.

Характеристикой распределения значений некоторой измеряемой величины является дисперсия (D).

Теперь можно дать определение и «среднеквадратичному отклонению».

Оно вычисляется по формуле:

\(\sigma=\sqrt{D_{\left|x\right|}}\)

Единицей измерения среднеквадратического отклонения является единица измерения исследуемой величины. Данный критерий используется при измерении линейной функции, статической проверки гипотезы, расчете стандартной ошибки среднего арифметического, а также при построении доверительных интервалов.

Как найти среднеквадратическое отклонение

Вычисление среднеквадратичного отклонения на первый взгляд может показаться достаточно сложным и запутанным. Но этот процесс можно облегчить, если воспользоваться следующим алгоритмом действий:

1. Найти среднее арифметическое всех членов множества.
2. Для каждого элемента вычислить варианту.
3. Сложить все полученные на предыдущем этапе значения.
4. Разделить число, полученное при выполнении третьего шага, на количество элементов множества.
5. Из полученного в предыдущем шаге числа извлечь корень квадратный.

Формула, примеры решения задач

Для четырех измеренных значений величины b формула среднеквадратичного отклонения будет выглядеть следующим образом:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\triangle b_1+\triangle b_2+\triangle b_3+\triangle b_4}4}\)

где Db₁ - Db₄ являются абсолютными погрешностями каждой исследуемой величины.

Рассмотрим пример решения конкретной задачи.

Задача

При проведении лабораторной работы по физике школьники несколько раз измерили напряжение электрического тока и получили следующие значения:

\(U_1=4.22B\\U_2=4.30B\\U_3=4.27B\\U_4=4.23B\\U_5=4.20B\)

Необходимо рассчитать погрешности (абсолютные и относительные) каждого измерения, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение

Определим среднее арифметическое значение напряжения в данной работе:

\(U_c=\sqrt{\frac{U_1+U_2+U_3+U_4+U_5}5}=\frac{4.22+4.30+4.27+4.23+4.20}5=4.244B\)

Теперь рассчитаем для каждого полученного измерения абсолютную и относительную погрешности. Так как абсолютная погрешность определяется как разница между средним арифметическим и полученным значением, то

\(\triangle U_1=0.024\\\triangle U_2=-0.056\\\triangle U_3=-0.026\\\triangle U_4=0.014\\\triangle U_5=0.044\)

Находим относительную погрешность:

\(\sigma_1=\frac{\left|U_1\right|}{U_c}\times100\%=0.50\%\\\sigma_2=\frac{\left|U_2\right|}{U_c}\times100\%=1.06\%\\\sigma_3=\frac{\left|U_3\right|}{U_c}\times100\%=0.50\%\\\sigma_4=\frac{\left|U_4\right|}{U_c}\times100\%=0.25\%\\\sigma_5=\frac{\left|U_5\right|}{U_c}\times100\%=0.84\%\\\)

Зная абсолютные погрешности несложно вычислить дисперсию:

\(D=\frac{\triangle U_1^2+{\triangle U_2}^2+{\triangle U_3}^2+{\triangle U_4}^2+{\triangle U_5}^2}5=0.001304\\\)

Теперь можно вычислить среднеквадратичное отклонение:

\(\sigma=\sqrt D=0.0361\\\)