Определение степени с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем — что такое в алгебре

Степень в алгебре состоит из двух компонентов: основания и показателя. Основание степени — любое число. Показатель — число, которое показывает, сколько раз нужно умножить основание само на себя.

В математике — это степень, показатель которой является натуральным числом.

Вспомним, что натуральными называют все целые числа больше нуля. Так, числа 1; 365; 1890 будут натуральными, а числа 0; –9; 8,7 — нет.

Степень с натуральным показателем имеет вид выражения aⁿ, где a — основание, а n — любое натуральное число. Читается это выражение как «a в степени n». При этом a может быть любым.

Основные определения, свойства

Следуя из выражения aⁿ, дадим точное определение понятию степени с натуральным показателем.

Иногда возникают особые случаи решения данного выражения, а именно:

• Степенью любого числа a с показателем 1 будет само а.

\(a^1=1;\)

• Степенью любого числа с нулевым показателем будет ноль

\(a^0=0;\)

• Ноль в любой степени будет равен нулю.

\(0^n=0;\)

• Единица в любой степени будет равна единице.

\(1^n=1.\)

За исключением этих случаев, чтобы производить вычисления и различные действия со степенями, нужно знать основные свойства:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

\(a^n\times a^m=a^{(m+n)};\)

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя первой степени вычитается показатель второй.

\(\frac{a^n}{a^m}=a^{(n-m)};\)

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

 \(\left(a^n\right)^m=a^{(n\times m)};\)

     4. При возведении в степень произведения каждый множитель возводится в данную степень.

\({(a\times b)}^n=a^n\times b^n;\)

5. При возведении в степень дроби в данную степень возводится и числитель, и знаменатель.

\(\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.\)

Правила работы со степенями с одинаковым показателем

Рассмотрим задания на решение выражений с одинаковыми показателями.

У них тоже есть определенные свойства, а именно:

1. При умножении степеней с одинаковыми показателями показатель остается прежним, а основания степеней перемножаются.

\(a^n\times b^n=\left(a\times b\right)^n;\)

2. При делении степеней с одинаковыми показателями показатель остается прежним, а основание первой степени делится на основание второй.

\(\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n.\)

Решение вычислительных примеров

Если вы выучите основные свойства степеней и запомните все формулы, то сможете приступить к решению примеров со степенями. Давайте попробуем потренироваться и решить примеры разных уровней сложности.

По определению четвертой степенью числа три является произведение четырех множителей, каждый из которых равен трем.

Задание в примерах 2-10 — вычислить:

2.

\(5^2\times5^1;\)

По свойству степени при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

Итак, \(5^2\times5^1=5^{\left(2+1\right)}=5^3=125.\)

3.

\(\frac{4^6}{4^4};\)

По свойству степени при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя первой степени вычитается показатель второй.

В таком случае, \(\frac{4^6}{4^4}=4^{\left(6-4\right)}=4^2=16.\)

4.

\(\left(7^2\right)^3;\)

По свойству степени при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

Таким образом, \(\left(7^2\right)^3=7^{\left(2\times3\right)}=7^6=117\;649.\)

5.

\(\left(2\times8\right)^2;\)

По свойству степени при возведении в степень произведения каждый множитель возводится в данную степень.

Значит, \( \left(2\times8\right)^2=2^2\times8^2=4\times64=256.\)

6.

\(\left(\frac82\right)^2;\)

По свойству степени при возведении в степень дроби в данную степень возводится и числитель, и знаменатель.

Следовательно, \(\left(\frac82\right)^2=\frac{8^2}{2^2}=\frac{64}4=16.\)

7.

\(5^2\times2^2;\)

По свойству степени при умножении степеней с одинаковыми показателями показатель остается прежним, а основания степеней перемножаются.

Имеем, \(5^2\times2^2=\left(5\times2\right)^2=10^2=100.\)

8.

\(\frac{9^3}{3^3};\)

По свойству степени при делении степеней с одинаковыми показателями показатель остается прежнем, а основание первой степени делится на основание второй.

Получим, \(\frac{9^3}{3^3}=\left(\frac93\right)^3=3^3=27.\)

Попробуем решить еще два выражения, более сложных.

9

\(\frac{(5^7\times5^5)}{5^4};\)

Помним о порядке действий. Сперва — умножение в скобках, потом — деление. Воспользуемся знаниями о свойствах степеней и получим следующее

\(\frac{(5^7\times5^5)}{5^4}=\frac{5^{(7+5)}}{5^4}=\frac{5^{12}}{5^4}=5^{12-4}=5^8=390\;625.\)

10

\(\left(\frac{3^6}{3^3}\right)\times\left(3^1\right)^2;\)

Воспользуемся знаниями о свойствах степеней и получим следующее:

\(\left(\frac{3^6}{3^3}\right)\times\left(3^1\right)^2=3^{(6-3)}\times3^{(1\times2)}=3^3\times3^2=3^{(3+2)}=3^5=243.\)