Свойства степенных функций, построение графиков

Степенная функция — что это такое

К степенным функциям в теории относятся следующие виды:

• линейная функция \(y = kx + b\);
• квадратичная парабола \(y = x^{2}\) (в общем виде: \(y = ax^{2} + bx + c)\);
• кубическая парабола \(y = x^{3}\);
• гипербола \(y = \frac{1}{x}\), которую можно представить в виде\( y = x^{-1};\)
• функция \(y =\sqrt{x}\), так как \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}.\)

В качестве примера можно рассмотреть описание функции: \(y=x^{\frac{m}{n}}\). В первую очередь следует проанализировать функции с показателем степени \(\frac{m}{n}>1\). Например, задана некая функция:

\(y=x^2*5.\)

Исходя из обозначения, при x≥0, область определения рассматриваемой функции – это луч [0;+∞).

Далее следует записать таблицу значений:

Затем можно сравнить несколько степенных функции следующим способом:

\(y=x^2;\)

\(y=x^{2,5};\)

\(y=x^3.\)

Число 2,5 находится между 2 и 3. В таком случае можно предположить, что и график рассматриваемой функции расположен между соответствующими графиками. Можно представить разные характеристики х, чтобы сравнить значения функций, которые зависят от x:

При \(0<x<1\), получается \(x^6<x^5<x^4\), но и выполняется \(\sqrt{x^6}<\sqrt{x^5}<\sqrt{x^4}\) или \(x^3<x^{2,5}<x^2.\)

При \(x>1\), получается \(x^4<x^5<x^6\), но и выполняется \(\sqrt{x^4}<\sqrt{x^5}<\sqrt{x^6}\) или \(x^2<x^{2,5}<x^3.\)

Все графики целесообразно построить на одном рисунке. В первом случае \(0<x<1\):

В данном случае синий цвет соответствует функции \(y=x^2\); красный:\( y=x^{2,5}\); зеленый: \(y=x^3\). На следующем этапе нужно построить графики по порядку на всей области определения функции \(y=x^{2,5}\). Цвет графиков останется прежним, как и на предыдущем рисунке:

График функции \(y=x^{\frac{m}{n}}\), \((m>n)\) является кривой, которая проходит через точки (0,0) и (1,1), и напоминает ветвь параболы. При увеличении показателя график функции в верхнем положении становится круче.

Линейная функция y = kx + b. Графиком данной функции является прямая линия. Для того, чтобы ее построить, требуется пара точек. При k > 0, линейная функция будет расти. При увеличении k график становится круче. Значение k представляет собой угловой коэффициент прямой и равно тангенсу угла наклона рассматриваемой прямой к положительному направлению оси X:

При использовании k < 0, можно наблюдать убывание линейной функции. Заметим, что в данном случае угол α — тупой и tg α < 0.

При k = 0, на графике будет изображена прямая y = b, которая параллельна оси X. В том случае, когда имеет место равенство угловых коэффициентов прямых, прямые будут параллельны друг другу.

Квадратичная функция \(y = ax2 + bx + c\) представляет собой параболу. Она обладает рядом особенностей:

1. При a > 0, ветви параболы направлены вверх, при a < 0 — вниз.
2. Формулы для вычисления координат, которые соответствуют вершине параболы: 
    
3. Точки пересечения параболы с осью X вычисляют, как корни квадратного уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\).
4. При отсутствии корней или дискриминанте, который меньше нуля, парабола и ось Х не пересекаются.
5. Точку пересечения параболы с осью Y можно определить, подставив в ее уравнение \(x = 0\).

Функция \(y = x^{3}\) является кубической параболой. Можно представить ее на рисунке, а также функции\( y = x^{4}\) и \(y = x^{5}.\)

Можно отметить, что функции \(y = x^{2}\) и \(y = x^{4}\) обладают некоторыми сходствами. Графики являются симметричными по отношению к оси Y. В данном случае можно сказать, что рассматриваемые функции – четные.

Функция \(y = f(x)\) является четной, когда:

• область определения функции симметрична относительно нуля;
• каждое значение x из области определения соответствует справедливому равенству \(f(−x) = f(x)\).

Графики функций \(y = x^{3}\) и \(y = x^{5}\) симметричны по отношению к началу координат. Данные функции являются нечетными.

Функция \(y = f(x)\) – нечетная, при условии, что:

• область определения функции симметрична относительно нуля;
• любой x из области определения соответствует равенству \(f(-x) = -f(x)\).

Можно заметить, что функция \(y = x^{a}\) четная при четных значениях α и нечетная при нечетных α.

Функция \(\small y = \frac{1}{x}\) в виде гиперболы также представляет собой степенную функцию. Это объясняется тем, что \(\small \frac{1}{x} = x^{-1}\). Так как знаменатель не должен быть равен нулю, рассматриваемая функция не определена при \(x = 0\). Гипербола представляет собой нечетную функцию с графиком, который симметричен по отношению к началу координат.

Построение графика функции \(\small y = \sqrt{x}\) следует начинать с области определения. Выражение \(\small \sqrt{x}\) определено при \(x ≥ 0\). Поэтому областью определения функции являются все неотрицательные числа. Также \(\small y = \sqrt{x}\) принимает только неотрицательные значения, поскольку \(\small \sqrt{x} ≥ 0.\)

Целесообразно воспользоваться данными свойствами в процессе решения уравнений и неравенств. Уравнение вида \(\small \sqrt{f(x)}=g(x)\) имеет смысл только при \(f(x) ≥ 0\) и \(g(x) ≥ 0\). Это является областью допустимых значений.

На одном графике можно построить параболу\( y = x^{2}\) и функцию \(\small y = \sqrt{x}\). Следует рассмотреть правую ветвь параболы, при \(x ≥ 0\). Заметим, что эта часть параболы и график функции \(\small y = \sqrt{x}\) словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x.

То, что для одной из них является областью определения, для другой — представляет собой область значений. Данные функции носят название взаимно-обратных.

Виды и их свойства, область определения

Степенные функции обладают рядом специфических свойств, которые могут отличаться в зависимости от их вида. Рассмотрим основные из них.

Свойства функции\( y=x^{\frac{m}{n}}, (m>n)\):

• D(y)=[0;+∞);
• функцию нельзя отнести ни к четной, ни к нечетной;
• возрастает на [0;+∞);
• не имеет ограничений в верхней части, но ограничена в нижней;
• отсутствует максимальное значение, минимальное значение равно нулю;
• непрерывность;
• E(f)=[0; +∞);
• выпукла вниз.

В качестве примера можно рассмотреть случай, когда показатель степени является правильной дробью, у которой значение числителя меньше, чем знаменателя. График функции\( y=x^{\frac{m}{n}}\), \((m>n)\) напоминает график функции \(y=\sqrt[n]{x}\):

Свойства функции\( y=x^{\frac{m}{n}}\), \(0<\frac{m}{n}<1:\)

• D(y)=[0;+∞);
• нельзя отнести ни к четной, ни к нечетной;
• возрастает на [0;+∞);
• не имеет ограничений сверху, ограничена снизу;
• максимальное значение отсутствует, наименьшее значение равно нулю;
• непрерывность;
• E(f)=[0; +∞);
• выпукла вверх.

Далее следует ознакомиться с графиком функции \(y=x^{-\frac{m}{n}}\). Можно заметить, что он похож на гиперболу. График обладает двумя асимптотами:

• горизонтальной y=0;
• вертикальной х=0.

График имеет следующий вид:

Свойства функции \(y=x^{-\frac{m}{n}}:\)

• D(y)=(0;+∞);
• не является ни четной, ни нечетной;
• убывает на (0;+∞);
• не ограничена в верхней части, обладает ограничением в нижней;
• максимальное значение отсутствует, минимальное – ноль;
• непрерывность;
• E(f)=(0; +∞);
• выпукла вниз.

В том случае, когда x>0, а r – какое-либо рациональное число, производная степенной функции \(y=x^r\) определяется, согласно формуле:

\(y'=r*x^{r-1}\)

К примеру: \((x^{1000})'=1000x^{999} \)

\((x^{-8})'=-8x^{-9}\)

\(\frac{2}{(x^3)'}=\frac{2}{3}*x^{-\frac{1}{3}}\)

\((\sqrt[6]{(2x+5)^5})'=((2x+5)^{\frac{5}{6}})'=2*\frac{5}{6}(2x+5)^{-\frac{1}{6}}=\frac{5}{3}(2x+5)^{-\frac{1}{6}}.\)

Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем

Степень действительного числа a, обладающего рациональным показателем n вычисляется, согласно уравнению:

\(a^{r}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Функция\( f(x)=x^{r}(r\in Q)\) представляет собой степенную функцию с рациональным показателем.

Степенью числа a, которое является положительным, c иррациональным показателем \(\alpha\) называется выражение вида \(a^{\alpha}\) со значением, равным пределу последовательности \(a^{\alpha_{0}}\), \(a^{\alpha_{1}}, a^{\alpha_{2}}\), …, где \(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\) являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа \(\alpha\).

Функция \(f(x)=x^{r}(r\in J)\) представляет собой степенную функцию с иррациональным показателем.

Как строить графики степенных функций

Согласно определению, построить график какой-либо функции можно путем поиска всех пар соответствующих значений аргумента и функции. Как правило, в результате получается бесконечное множество точек, что затрудняет процесс построения графика. В связи с этим требуется исследовать функцию:

• обозначить область определения и область изменения функции;
• найти области ее убывания или возрастания;
• определить асимптоты, интервалы знакопостоянства;
• выявить несколько точек, принадлежащих графику;
• соединить найденные точки плавной кривой.

Задачи со степенной функцией

• [1;16];
• (2,10);
• на луче [9;+∞).

Решение

Показатель степени рассматриваемой функции обладает положительным значением. В этом случае, учитывая свойства записанной функции, можно заключить, что она возрастает на всей области определения. Таким образом, функция достигает своего максимума и минимума на концах заданных отрезков (если она определена в этих точках).

\(y_{наим.}=1^{\frac{2}{5}}=1; y_{наиб.}=16^{\frac{5}{2}}=(\sqrt{16})^5=4^5=1024\)

На промежутке (2,10) максимальное и минимальное значения функции отсутствуют, в связи с тем, что промежуток является открытым, и точки 0 и 4 к данному интервалу не относятся.

На луче [9;+∞) наибольшее значение отсутствует

\(y_{наим.}=9^{\frac{5}{2}}=\sqrt{9^5}=(\sqrt{9})^5=3^5=243.\)

\(y=\frac{16}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{4}x^4\)

Решение

Вычислим производную рассматриваемой функции:

\(y'=\frac{16}{5}*\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-x^3=8x^{\frac{3}{2}}-x^3=8\sqrt{x^3}-x^3\)

Так как производная существует на всей области определения исходной функции, можно заключить, что критические точки отсутствуют.

Далее определим стационарные точки:

\(y'=8\sqrt{x^3}-x^3=0\)

\(8*\sqrt{x^3}=x^3\)

\(64x^3=x^6\)

\(x^6-64x^3=0\)

\(x^3(x^3-64)=0\)

\(x_1=0 и x_2=\sqrt[3]{64}=4\)

Заданному отрезку принадлежит только одно решение \(x_2=4\)

Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:

Ответ: \(y_{наим.}=-862,65\) при\( x=9\); \( y_{наиб.}=38,4\) при \(x=4.\)

Решение

График функции \(y=x^{\frac{4}{3}}\) будет возрастать, а график функции \(у=24-х\) – убывать. Известно, что когда одна функция возрастает, а вторая убывает, то будет лишь одна точка, в которой эти функции пересекаются. Следовательно, уравнение обладает всего одним решением. Можно заметить, что:

\(8^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{8^4}=(\sqrt[3]{8})^4=2^4=16\)

24-8=16

Таким образом, при х=8 уравнение преобразуется в справедливое равенство: 16=16, что является ответом к задаче.

Ответ: х=8.

Решение

График рассматриваемой функции можно получить из графика функции:

\(y=x^{\frac{3}{4}}\)

Требуется сместить этот график на 3 единицы в правую сторону и на 2 единицы вверх:

Решение

Обозначение уравнения касательной:

\(y=f(a)+f'(a)(x-a).\)

По условию задачи число a является натуральным числом 1, поэтому:

\(f(a)=f(1)=1^{-\frac{4}{5}}=1\)

Определим производную:

\(y'=-\frac{4}{5}x^{-\frac{9}{5}}\)

Таким образом:

\(f'(a)=-\frac{4}{5}*1^{-\frac{9}{5}}=-\frac{4}{5}.\)

Запишем уравнение касательной:

\(y=1-\frac{4}{5}(x-1)=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}\)

Ответ: \(y=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}.\)