Формулы для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия являет собой последовательность чисел. Когда каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число \(Xn\), то говорят, что представлена числовая последовательность. Она имеет вид: \(X_1, X_2\)
,…,\(X_n\), или \({[X_n]}\). Для задания последовательности необходимо знать закон, по которому каждому натуральному числу n соответственно поставлено общее число последовательности \(f(n)=X_n.\)

Числа \( b_1\) и q не могут равняться нулю, поскольку в таком случае все члены прогрессии, начиная со второго, будут равны нулю.

Геометрическую прогрессию определяют как произведение между ее знаменателем и n-м членом:

\(b_n=b_{n-1}\cdot q,\)

Где \(b_n\) — \(n-й\) член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии.

Геометрическая прогрессия может быть задана рекуррентным соотношением:

\(b_1=b,\) \(b_{n+1}=b_n\cdot q,\) \(n\in N,\) \(b\neq0\), \(q\neq0.\)

Примеры геометрических прогрессий:

• 1, 2, 4, 8, 16, 32 …; \(b_1 = 1\), \(q = 2;\)
• 1, 3, 9, 27, 81…; \(b_1 = 1\), \(q = 3;\)
• 2, -8, 32, -128, 512…:\(b_1 = 2\), \(q = -4.\)

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, рассчитывается как модуль среднего геометрического соседних членов:

\(\left|b_n\right|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}},\) \(n\geq2, \)

или

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)

Если \(b_1 > 0\) и \(q > 1\) или \(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\), то для геометрической последовательности характерно возрастание.

Если \(b_1 > 0\) и 0 < \(q < 1\) или \(b_1 < 0\) и \(q > 1\), то для нее характерно убывание.

Примеры геометрических прогрессий в жизни:

1. Размножение бактерий крайне велико и осуществляется по геометрической прогрессии: каждая клетка делится на две, новые — делятся еще на две и т.д. Знание принципов размножения бактерий находит свое применение в биотехнологии, пищевой промышленности, медицине и т.д.
2. Зная формулу суммы геометрической прогрессии, можно находить площади и объемы геометрических фигур. Еще Архимед заметил связь между прогрессиями и вывел формулу для нахождения площади сегмента параболы через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
3. Возрастание скорости химических реакций происходит в геометрической прогрессии при увеличении температуры по арифметической прогрессии.
4. Начисление процентов по вкладу в банках может осуществляться по простой или сложной схеме: соответственно, проценты начисляются либо по арифметической, либо по геометрической прогрессиям.

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет

Сумма S всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется как соотношение между первым членом геометрической прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии:

\(S=\frac{b_1}{1-q}.\)

Доказательством этой формулы является то, что величина \(q^n\) по модулю становится все меньше и меньше и стремится к нулю, при этом величина n неограниченно возрастает.

Пример такой прогрессии:

1, \(\frac12,\) \(\frac14,\) \(\frac18\), \\(\frac1{16},…\)

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Если \(q=1\), то для вычисления суммы \(S_n\) первых n членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

\(S_n=b_1+...+b_n=\frac{b_1-b_nq}{1-q}=\frac{b_1\left(1-q^n\right)}{1-q}.\)

Если \(q≠1\), то формула видоизменяется в:

\(S_n=b_1n.\)

Также для объяснения формулы, введем другое обозначение суммы первых членов прогрессии:

\(S_n=b_1+b_2+...+b_n.\)

Тогда можно видоизменить формулу нахождения суммы \(S_n\) первых n членов геометрической прогрессии:

\(S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.\)

Как найти q в геометрической прогрессии

Вычисление знаменателя прогрессии \(q\) осуществляют через выведение из формулы на нахождение общего члена геометрической прогрессии:

\(b_n=b_1q^{n-1}\ \)

Отсюда:

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Примеры решения задач

Найти знаменатель и первый член геометрической прогрессии.

Решение:

По условиям задачи:

\(b_1+b_1q^2=35.,\)

\(b_1\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)=49\left(\frac1{b_1}+\frac1{b_1q}+\frac1{b_1q^2}+\frac1{b_1q^3}+\frac1{b_1q^4}\right).\) (2)

Так как \(1+q+q^2+q^3+q^4\neq0\) (иначе задача теряет смысл), то равенство (2) можно записать в виде:

\(b_1^2q^4=49. \) (3)

Из (3) следует, что либо \(b_1q^2=7,\) либо \(b_1q^2=-7.\)

Если равно 7, то из (1) находим \(b_1=28,\) \(q^2={\textstyle\frac14}\), откуда \(q=\pm\frac12\ \)

Если равно -7, \(b_1=42,\) \(\\q^2=-{\textstyle\frac16}\). В этом случае второе условие задачи теряет смысл. 

Конечный результат:

\(b_1=28,\) \(q=\pm\frac12. \)

Доказать, что: \(S_n\left(S_{3n}-S_{2n}\right)=\left(S_{2n}-S_n\right)^2\). (1)

Доказательство:

Пусть \(b_k — k-й\) член, \(q\)— знаменатель геометрической прогрессии. Тогда:

\(S_{m+k}=S_m+b_1q^m+b_1q^{m+1}+...+b_1q^{m+k-1},\)

откуда:

\(S_{m+k}-S_m=q^m\left(b_1+b_1q+...+b_1q^{k-1}\right)\)

или

\(S_{m+k}-S_m=q^mS_k\) (2).

Полагая в (2) сначала \(m = 2_n,\) \(k = n\), а затем \(m = n\), \(k = n\), получаем

\(S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}\cdot S_n\), \(S_{2n}-S_n=q^n\cdot S_n.\) (3)

А из равенств (3) следует равенство (1).

Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение:

Обозначим: \(b_1\) — первый член, \(S\) — сумма прогрессии, \(q\) — знаменатель, \(S_1\) — сумма возведенных в третью степень ее членов.

Тогда

\(S=\frac{b_1}{1-q}\),\( S_1=\frac{b_1^3}{1-q^3}.\)

Далее получаем

\(\frac{S^3}{S_1}-\frac{1-q^3}{{(1-q)}^3}=\frac{4^3}{192}=\frac13\ \)

\(3(1+q+q^2)=1-2q+q^2,\;q\neq1..\)
Полученное уравнение, записанное в виде

\(2q^2+5q+2=0\)

имеет корни \(q_1 = −2,\) \(q_2 = − ½.\)

Так как \(|q| < 1\), отбрасываем первый корень.

Следовательно:

\(q=-\frac12,\;b_1=4(1-q)=6.\)

Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение:

Запишем условия задачи в виде системы уравнений:

\(\left\{\begin{array}{l}b_1+b_2+b_3=351,\\b_4+b_5+b_6=13\end{array}\right.\Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l}b_1+b_1q+b_1q^2=351,\\b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5=13\end{array}\right.\Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l}b_1(1+\frac13+\frac19)=351,\\q=\frac13\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{13}9b_1=351,\\q=\frac13\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b_1=\frac{351\cdot9}{13}=243,\\q=\frac13.\end{array}\right.\right..\)

Ответ: \(b_1=243,\;q=\frac13.\)

Найти знаменатель прогрессии?

Решение:

Определим, что в прогрессии 2n членов и \(S_{2n}\) — сумма всех членов, а \(S_n^\ast\) — сумма членов, стоящих на нечетных местах.

Тогда \(S_{2n}=\frac{b_1(1-q^{2n})}{1-q}.\)

И 

\(S_n^\ast=b_1+b_3+...+b_{2n-1}=b_1+b_1q^2+...+b_1q^{2n-2}=\frac{b_1(1-q^{2n)}}{1-q^2}.\)

Где \(b_1\) — первый член прогрессии, а \(q ≠ 1\) — знаменатель прогрессии.

По условию задачи:

\(S_{2n}=3S_n^\ast\Rightarrow\frac{b_1(1-q^{2n)}}{`1-q}=3\frac{b_1(1-q^{2n)}}{1-q^2}\Rightarrow1+q=3\Rightarrow q=2.\)

Ответ: \(q=2. \)