Сумма кубов

Формула суммы кубов

Формула 1

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

Обратите внимание, что во второй скобке — неполный квадрат разности, так как вместо удвоенного произведения a на b стоит одинарное.

Также важно понимать, что a^3+b^3\bcancel={(a+b)}^3, так как это разные формулы. В сумме кубов возведение происходит у каждого слагаемого, а в кубе суммы — вся сумма возводится в куб.

Выведение формулы

Чтобы убедиться, что сумма кубов выглядит именно так, попробуем перемножить выражения в скобках:

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a\cdot a^2-a\cdot ab+a\cdot b^2+a^2\cdot b-a\cdot b^2+b\cdot b^2\)

Сократим выражения с разными знаками:

a\cdot a^2-\cancel{a\hat{}2\cdot b}+\bcancel{a\cdot b^2}+\cancel{a^2\cdot b}-\bcancel{a\cdot b^2}+b\cdot b^2=a^3+b^3

Примеры использования формулы

Потренируемся в вычислении и выражении суммы кубов на примерах.

Задача 1

Разложите на множители выражение \(4^3+(2x)^3.\)

Решение:

\(4^3+(2x)^3=(4+2x)(4^2-4\cdot 2x+(2x)^2)=(4+2x)(16-8x+4x^2).\)

Ответ: \((4+2x)(16-8x+4x^2).\)

Задача 2

Упростить выражение \(\frac{64x^3+1}{4x+1}.\)

Решение:

\(\frac{64x^3+1}{4x+1}=\frac{(4x+1)(16x^2-4x+1)}{(4x+1)}\)

Сократим одинаковое делимое и делитель:

\frac{\bcancel{(4x+1)}(16x^2-4x+1)}{\bcancel{(4x+1)}}=16x^2-4x+1.

Ответ: 16x^2-4x+1.

Задача 3

Решить уравнение \((a+2)(a^2-2a+2)=0.\)

Решение:

\((a+2)(a^2-2a+2)=a^3+8\)

\(a^3+8=0\)

\(a^3=-8\)

\(a=-2\)

Ответ: \(a=-2.\)

Задача 4

Вычислить при x=2:

\(27-(3-2x)(9+6x+4x^2).\)

Решение:

\((3-2x)(9+6x+4x^2)=3^3-(2x)^3=27-8x^3\)

\(27-(27-8x^3)=8x^3.\)

Подставляем переменную x=2:

\(8\cdot 2^3 = 8\cdot 8=64.\)

Ответ: 64.