Свойства вписанных и описанных четыехугольников

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке:

Здесь около четырехугольника ABCD описана окружность, а сам этот четырехугольник можно назвать вписанным в данную окружность. Этот вывод можно сделать на основании определения, рассмотренного ранее, так как точки A, B, C, D являются одновременно и вершинами четырехугольника, и принадлежат описанной около него окружности.

На примере рисунка запишем смысл изложенной теоремы:

\(\left. \begin{array}{l} \angle A + \angle C = {180^o}\\ \angle B + \angle D = {180^o} \end{array} \right\} \Leftrightarrow ABCD\) треугольник вписан в окружность.

Если какой-то четырехугольник вписан в окружность, то ее центральная точка совпадет с точкой, в которой пересекаются диагонали вписанного четырехугольника. При этом радиус описанной около четырехугольника окружности составит половину от длины его диагонали, то есть:

\(R = \frac{1}{2}BD\)

Радиус, окружности, описанной около некого четырехугольника с прямыми углами, можно вычислить с помощью следующей формулы, содержащей стороны прямоугольника:

\(R = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}}.\)

Представим, что прямоугольник имеет стороны, которые равны a и b. Тогда справедливо следующее соотношение:

\(R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)

Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, которая описана около равнобедренной трапеции. Искомая величина равна радиусу окружности, описанной около одного из треугольников, имеющего те же вершины, что и рассматриваемая трапеция:

ABC, ABD, ACD или BCD.

Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Заметим, что в данном случае соблюдено условие:

AB+CD=BC+AD

На основе теоремы можно сформулировать обратное утверждение. В том случае, когда противоположные стороны четырехугольника в сумме равны, то есть AB+CD=BC+AD, в такой четырехугольник ABCD допустимо вписать какую-либо окружность.

Заметим, что на рисунке биссектрисами углов, которые имеет четырехугольник ABCD, являются следующие отрезки:

• AO;
• BO;
• CO;
• DO.

В результате:

\(\angle BAO = \angle DAO\)

\(\angle ABO = \angle CBO\) и так далее.

Рассмотрим рисунок. Заметим, что:

BM=BK;

CK=CF;

DF=DN.

Записанные равенства вытекают из того факта, что это отрезки касательных, которые проведены из одной точки.

Запишем следующие соотношения:

\(OM \bot AB\);

\(OK \bot BC\);

\(OF \bot CD\);

\(ON \bot AD\).

Данные соотношения верны, так как включают в себя радиусы, которые проведены в точки касания окружности и описанного четырехугольника.

Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

В том случае, когда в четырехугольник вписана окружность, его площадь определяется по формуле:

\(S = p \cdot r\)

Здесь p обозначает полупериметр четырехугольника.

Вспомним, что противолежащие стороны четырехугольника, в который вписана окружность, в сумме равны. Исходя из данного утверждения, можно сделать вывод: полупериметр такого четырехугольника равен какой-либо из пар сумм противолежащих сторон.

Если рассмотреть некий четырехугольник ABCD, то можно записать формулу для вычисления полупериметра этой геометрической фигуры:

p=AD+BC

p=AB+CD.

Тогда площадь четырехугольника, в который вписана окружность, будет вычислена таким образом:

\({S_{ABCD}} = (AD + BC) \cdot r;\)

\({S_{ABCD}} = (AB + CD) \cdot r.\)

В результате для определения радиуса окружности, которая вписана в некий четырехугольник, можно воспользоваться следующей формулой:

\(r = \frac{S}{p}.\)

В том случае, если рассматривается описанная около четырехугольника ABCD окружность, то формула для вычисления ее радиуса примет вид:

\(r = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD + BC}};\)

\(r = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}}.\)

Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника

Заметим, что на рисунке изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность (O; R). Требуется доказать, что:

\(\angle A+\angle C=180^o;\)

\(\angle B+\angle D=180^o.\)

Представим доказательства. По условию:

\(\angle A\) — угол вписанного четырехугольника, опирается на дугу BCD;

\(\angle C\) — угол, который опирается на дугу DAB.

Зная, что вписанный угол составляет ½ часть дуги, которая является его опорой, запишем:

\(\angle A = \frac{1}{2} \cup BCD,\)

\(\angle C = \frac{1}{2} \cup DAB.\)

В результате:

\(\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cup BCD + \frac{1}{2} \cup DAB = \frac{1}{2}( \cup BCD + \cup DAB) = \frac{1}{2} \cdot 360^o = 180^o.\)

Аналогичным образом запишем, что:

\(\angle B + \angle D = \frac{1}{2}( \cup CDA + \cup ABC) = \frac{1}{2} \cdot 360^o = 180^o.\)

Теорема доказана.

Представим, что имеется некий четырехугольник ABCD.

Сумма его противолежащих углов равна: \(\angle B+\angle D=180^o\).

Попробуем доказать, что около рассматриваемого четырехугольника можно описать окружность.

В первую очередь построим окружность около треугольника ABC таким образом, чтобы точка D принадлежала данной окружности. Построим доказательства, двигаясь «от обратного».

Допустим, что точка D не принадлежит окружности, которая описана около треугольника ABD. В таком случае точка D должна располагаться во внутренней области, ограниченной данной окружностью, или за пределами окружности.

В том случае, когда точка D расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, какой-то луч AD имеет точку пересечения с окружностью. Обозначим ее, как Е. Заметим, что если вокруг четырехугольника ABCE описана окружность, то его противолежащие углы в сумме составляют \(180^o\):

\(\angle B+\angle E = 180^o.\)

Согласно данным из условия задачи:

\(\angle B+\angle D=180^o.\)

Таким образом:

\(\angle D=\angle E.\)

С другой стороны, угол D является внешним углом треугольника DCE при его вершине D. Исходя из этого, запишем:

\(\angle ADC=\angle DEC+\angle DCE.\)

В результате получается, что угол D не равен углу E. Это утверждение противоречиво. Таким образом, точка D не расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, описанной около треугольника ABC.

Луч AD имеет точку пересечения с окружностью, обозначенную буквой Е. В таком случае, ABCE представляет собой вписанный в окружность четырехугольник, а также:

\(\angle B+\angle E=180^o\)

Согласно условию задачи:

\(\angle B+\angle D=180^o.\)

Тогда:

\(\angle D=\angle E.\)

Однако угол Е является внешним углом треугольника ECD и расположен при вершине E.

Таким образом: \(\angle AEC=\angle EDC+\angle DCE.\)

В результате недопустимо равенство углов D и E. В том случае, когда точка D расположена за пределами окружности, возникает противоречие. Таким образом, остается единственно верный вариант расположения этой точки, согласно которому она принадлежит окружности, описанной около четырехугольника. Теорема доказана.

Согласно свойству и признаку четырехугольника, вписанного в окружность, необходимым и достаточным условием вписанного четырехугольника является следующая теорема.

Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Допустим, что имеется некий четырехугольник, стороны которого обозначены, как a, b, c, d, а полупериметр равен p. В таком случае описанная около данного четырехугольника окружность имеет радиус, который можно рассчитать по формуле как отношение:

\(R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}.\)

Рассмотрим еще одну закономерность, которую называют формулой Брахмагупты. С ее помощью можно определить площадь S четырехугольника, который вписан в окружность и имеет стороны, равные a, b, c, d:

\(S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.\)

В данном случае p является полупериметром, то есть в два раза меньше, чем периметр, и определяется как:

\(p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d).\)

С помощью формулы Брахмагупты представляется возможным изменить форму записи формулы Парамешвары:

\(4SR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.\)

Здесь S определяется, как площадь четырехугольника, вписанного в окружность. Диаметр равен двум радиусам и проходит через центр окружности.