Равнобедренный треугольник: определение, теорема о свойстве высоты

Что такое равнобедренный треугольник

Равные стороны называются боковыми, а третья – основанием.

Признаки равнобедренного треугольника

• треугольник является равнобедренным, если два его угла равны;
• треугольник, в котором высота и медиана, высота и биссектриса, биссектриса и медиана, проведенные к одной стороне, совпадают, является равнобедренным, а эта сторона – основанием.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойство первое

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC. К его основанию проведена биссектриса AD.

Так как AD является биссектрисой, соответственно, угол ∠1 будет равен углу ∠2. Сторона AD – общая для ΔADB и ΔADC. Следовательно, они равны по первому признаку. Тогда верно утверждение, что угол ∠B равен углу ∠C.

Свойство второе

В равнобедренном треугольнике биссектриса, опущенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство теоремы:

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC. К его основанию проведена биссектриса AD.

Так как AD является биссектрисой, соответственно, угол ∠1 будет равен углу ∠2. Сторона AD – общая для ΔADB и ΔADC. Тогда эти треугольники равны по первому признаку. Тогда BD = DC. Следовательно, AD – медиана.

Сумма углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Так как AD – биссектриса, то угол ∠A = 2*∠1.

То есть

2*∠1 + 2*∠2 = 180°

∠1 + ∠2 = 90°

В ΔACD ∠CDA + ∠1 + ∠2 = 180°, следовательно, ∠CDA = 90°.

Тогда AD – высота.

Свойство третье

В равнобедренном треугольнике медианы (соответственно, высоты и биссектрисы), проведенные из вершин при основании, равны.

Доказательство теоремы:

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC.

∠BAT = ∠BCM, так как AT и MC – биссектрисы равных углов. ∠B – общий для ΔABT и ΔCBM. Следовательно,  ΔABT и ΔCBM равны по второму признаку. Тогда AT = CM.

Формулы для равнобедренного треугольника

Формулы площади

\(S=\frac{1}{2}b\sqrt{\left(a+\frac{1}{2}b\right)\left(a-\frac{1}{2}b\right)}\)

\(S=\frac{1}{2}a^2\sin B\)

\(S=\frac{1}{2}ab\sin A\)

\(S=\frac{b^2}{4\tan\left(\frac{B}{2}\right)} \)    

\(S=\frac{bh}{2} \)

\(S=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}\)

Формулы для нахождения стороны

\(a=\frac{b}{2\cos A}\) 

\(b=a\sqrt{2\left(1-\cos B\right)}\)

\(b=2a\sin\left(\frac{B}{2}\right)\)

\(b=2a\cos A\)

Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности

\(r=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}\)

\(r=\frac{bh}{b+\sqrt{4h^2+b^2}}\)

\(r=\frac{h}{1+\frac{a}{\sqrt{a^2-h^2}}}\)

\(r=\frac{b}{2}\tan\left(\frac{A}{2}\right)\)

\(r=a\cos A\tan\left(\frac{A}{2}\right)\)

Пример решения задачи

Дан равнобедренный ΔBAC, в котором угол ∠А = 70°. Найти угол ∠В.

Решение:

∠А + ∠В + ∠С = 180°.

Так как ΔBAC – равнобедренный, следовательно, ∠В = ∠С.

Тогда

∠А + 2*∠В = 180°, 70° + 2*∠В = 180°

2∠В = 180° - 70° = 110°

∠В = 55°

Ответ: ∠В = 55°