Таблица интегралов

Основные формулы интегралов

Знания основных формул интегрирования помогут взять неопределенный и вычислить определенный интегралы. Решение задач, где используются интегралы всегда начинается с взятия неопределенного интеграла, поэтому в этом разделе представлены основные формулы неопределенных интегралов, где С — это произвольная константа интегрирования, то есть число, которое можно задать, если нам будет известны дополнительные условия, например, значения функции в конкретной точке.

Ниже представлена таблица основных интегралов.

1. \(\int0\times\operatorname dx=C\\ \)
2. \(\int\operatorname dx=\int1\times\operatorname dx=x+C\;\\\)
3. \(\int x^n\operatorname dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\;,\;при\;n\neq-1,\;x>0\\\)
4. \(dx=\ln\left|\left.x\right|\right.+C\\\)
5. \(\int a^x\operatorname dx=\frac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\\\)
6. \(\int e^x\operatorname dx=e^x+C\\\)
7. \(\int\sin\left(x\right)\operatorname dx=-\cos\left(x\right)+C\\\)
8. \(\int\cos\left(x\right)\operatorname dx=\sin\left(x\right)+C\\\)
9. \(\int\frac{\operatorname dx}{\sin{}^2x}=-ctg\left(x\right)+C\\\)\(\int\frac{\operatorname dx}{\cos{}^2x}=tg\left(x\right)+C\\\)\( \int\frac{\operatorname dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arc\sin\left(\frac xa\right)+C,\;\left|\left.x\right|\;<\right.\;\left|\left.a\right|\right.\\\)
10. \(\int\frac{\operatorname dx}{a^2+x^2}=\frac1aarctg\left(\frac xa\right)+C\\\) Также к основным формулам относятся два интеграла, которые имеют специальные названия №13 — «Высокий» логарифм, №14 — «Длинный» логарифм: 
11. \(\int\frac{\operatorname dx}{a^2-x^2}=\frac1{2a}\ln\left(\left|\left.\frac{a+x}{a-x}\right|\right.\right)+C,\;\left|\left.x\right|\neq a\right.\\\)
12. \(\int\frac{\operatorname dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left(\left|\left.x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|\right.\right)+C\\\)

Правила интегрирования функций

Для того чтобы взять интеграл, не всегда хватает знания таблицы основных формул, также необходимо знать свойства интегралов и правила интегрирования различных функций.

1. \(\int c\;f(x)\operatorname dx=c\int\;f(x)\operatorname dx\;\)постоянный множитель (константу) можно вынести за знак интеграла
2. \(\int\lbrack\;f(x)+g(x)\rbrack\operatorname dx=\int\;f(x)\operatorname dx\;+\int\;g(x)\operatorname dx\) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций
3. \(\int\lbrack\;f(x)-g(x)\rbrack\operatorname dx=\int\;f(x)\operatorname dx\;-\int\;g(x)\operatorname dx\) интеграл от разности функций равен разности интегралов этих функций
4. \(\int\;u\operatorname dv\;=uv-\int v\operatorname du\) правило интегрирования по частям, где u=f(x), v=g(x)

Метод замены переменной помогает упростить сложные интегралы и свести их либо к более простым, либо к табличным значениям, которые можно сразу проинтегрировать и вычислить значения, если нам известны пределы интегрирования (для определенного интеграла). Он производится двумя способами: подведение функции под знак дифференциала и собственно замена переменной.

Интегралы элементарных функций

Первообразные рациональных функций

1. \(\int x^n\operatorname dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\;(n\neq-1)\)
2. \(\int\frac{\operatorname dx}x=\ln\left(\left|\left.x\right|\right.\right)+C\)
3. \(\int\frac{dx}{ax+b}=\frac1a\ln\left(\left|\left.ax+b\right|\right.\right)+C\)
4. \(\int\frac{ax+b}{cx+d}\operatorname dx=\frac acx+\frac{bc-ad}{c^2}\ln\left(\left|\left.cx+d\right|\right.\right)+C\)
5. \(\int\left(ax+b\right)^n\operatorname dx=\frac{\left(ax+b\right)^{n+1}}{a\left(n+1\right)}+C,\;n\neq-1\;\)
6. \(\int\frac{\operatorname dx}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}=\frac1{a-b}\ln\left(\left|\left.\frac{x+b}{x+a}\right|\right.\right)+C\)
7. \(\int\frac{\operatorname dx}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\ln\left(\left|\left.\frac{x-b}{x+a}\right|\right.\right)+C\)
8. \(\int\frac{x\operatorname dx}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}=\frac1{a-b}\left(a\ln\left|x+a\right|-b\ln\left|x+b\right|\right)+C\)
9. \(\int\frac{x\operatorname dx}{x^2-a^2}=\frac12\ln\left|x^2-a^2\right|+C\)
10. \(\int\frac{x\operatorname dx}{x^2+a^2}=\frac12\ln\left|x^2+a^2\right|+C\)
11. \(\int\frac{\operatorname dx}{x^2+a^2}=\frac1aarctg\left(\frac xa\right)+C\)
12. \(\int\frac{x\operatorname dx}{\left(x^2+a^2\right)^2}=-\frac12\frac1{x^2+a^2}+C\)
13. \(\int\frac{x\operatorname dx}{\left(x^2+a^2\right)^3}=-\frac14\frac1{\left(x^2+a^2\right)^2}+C\)
14. \(\int\frac{x\operatorname dx}{\left(x^2+a^2\right)^2}=-\frac1{2a^2}\frac x{x^2+a^2}+\frac1{2a^3}arctg\left(\frac xa\right)+C\)
15. \(\int\frac{\operatorname dx}{ax^2+bx+c}=\frac1{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left(\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|\right)+C,\;при\;(b^2-4ac>0)\)
16. \(\int\frac{\operatorname dx}{ax^2+bx+c}=\frac1{\sqrt{4ac-b^2}}arctg\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+C,\;при\;(b^2-4ac<0)\)
17. \(\int\frac{x\operatorname dx}{ax^2+bx+c}=\frac1{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac b{2a}\int\frac{\operatorname dx}{ax^2+bx+c\;} \)
18. \(\int\frac{x\operatorname dx}{ax+b}=\frac1{a^2}\left(ax+b-b\ln\left|ax+b\right|\right)+C\)
19. \(\int\frac{x^2\operatorname dx}{ax+b}=\frac1{a^3}\left(\frac12\left(ax+b\right)^2-2b\left(ax+b\right)+b^2\ln\left(\left|ax+b\right|\right)\right)+C\)
20. \(\int\frac{x^2\operatorname dx}{\left(ax+b\right)^2}=\frac1{a^3}\left(ax+b-2b\ln\left(\left|ax+b\right|\right)-\frac{b^2}{ax+b}\right)+C\)
21. \(\int\frac{x\operatorname dx}{\left(ax+b\right)^2}=\frac1{a^2}\left(\ln\left(\left|ax+b\right|\right)-\frac b{ax+b}\right)+C\)
22. \(\int\frac{\operatorname dx}{x^2\left(ax+b\right)}=-\frac1{bx}+\frac a{b^2}\ln\left(\left|\frac{ax+b}x\right|\right)+C\)
23. \(\int\frac{\operatorname dx}{x\left(ax+b\right)}=\frac1b\ln\left(\left|\frac{ax+b}x\right|\right)+C\)

 Логарифмы

Основные интегралы с логарифмическими функциями, которые нужно знать: 

1. \(\int\ln\left(x\right)\operatorname dx=x\ln\left(x\right)-x+C\)
2. \(\int\frac{\operatorname dx}{x\ln\left(x\right)}=\ln\left|\ln x\right|+C\)
3. \(\int\log_b\left(x\right)\operatorname dx=x\log_b\left(x\right)-x\log_b\left(e\right)+C=x\frac{\ln\left(x\right)-1}{\ln\left(b\right)}+C\)

Также рассмотрим частные случаи интегрирования логарифмических функций, примером могут служить такие интегралы: 

1. \(\int\left(\ln\;x\right)^2\operatorname dx=x\left(\ln\;x\right)^2-2x\;ln\;x+2x+C\)
2. \(\int\left(\ln\;сx\right)^n\operatorname dx=x\left(\ln\;cx\right)^n-n\int\left(\ln\;cx\right)^{n-1}\operatorname dx+C\)
3. \(\int\frac{\left(\ln\;x\right)^n\operatorname dx}{x^m}=\frac{\left(\ln\;x\right)^{n+1}}{n+1}+C,\;при\;n\neq-1\)
4. \(\int\sin\left(\ln\;x\right)\operatorname dx=\frac x2\left(\sin\left(\ln\;x\right)-\cos\left(\ln\;x\right)\right)+C\)
5. \(\int\cos\left(\ln\;x\right)\operatorname dx=\frac x2\left(\sin\left(\ln\;x\right)+\cos\left(\ln\;x\right)\right)+C\)

Экспоненциальные функции

1. \(\int e^x\operatorname dx=e^x+C\)
2. \(\int a^x\operatorname dx=\frac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)
3. \(\int e^{cx}\operatorname dx=\frac1ce^{cx}+C\)
4. \(\int xe^{cx}\operatorname dx=\frac{e^{cx}}{c^2}\left(cx-1\right)+C\)
5. \(\int x^ne^{cx}\operatorname dx=\frac1cx^ne^{cx}-\frac nc\int x^{n-1}e^{cx}\operatorname dx+C\;\)

Иррациональные функции

1. \(\;\int\frac{\operatorname dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arc\sin\frac xa+C\)
2. \(-\;\int\frac{\operatorname dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arc\cos\frac xa+C\)
3. \(-\;\int\frac{\operatorname dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac1aarcsec\frac{\left|x\right|}a+C\)
4.  «Длинный логарифм»:
   \(\int\frac{\operatorname dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left(\left|\left.x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|\right.\right)+C\\\)
5. \(\int\sqrt{x^2+a}\operatorname dx=\frac12\left(x\sqrt{x^2+a}+a\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|\right)+C\)

Тригонометрические функции

1. \(\int\sin\left(x\right)\operatorname dx=-\cos\left(x\right)+C\)
2. \(\int\cos\left(x\right)\operatorname dx=\sin\left(x\right)+C\)
3. \(\int tg\left(x\right)\operatorname dx=-\ln\left(\left|\cos\left(x\right)\right|\right)+C\)
4. \(\int ctg\left(x\right)\operatorname dx=\ln\;\left|\sin\left(x\right)\right|+C\)
5. \(\int sec\left(x\right)\operatorname dx=\ln\;\left|sec\left(x\right)+tg(x)\right|+C\)
6. \(\int cosec\left(x\right)\operatorname dx=-\ln\;\left|cosec\left(x\right)+ctg(x)\right|+C\)
7. \(\int{sec}^2\left(x\right)\operatorname dx=\int\frac{\operatorname dx}{\cos^2x}=tg\;x+C\)
8. \(\int co{sec}^2\left(x\right)\operatorname dx=\int\frac{\operatorname dx}{\sin^2x}=-ctg\;x+C\)
9. \(\int{sec}\left(x\right)\;tg(x)\operatorname dx=sec\;(x)+C\)
10. \(\int{cosec}\left(x\right)\;ctg(x)\operatorname dx=-cosec\;(x)+C\)
11. \(\int\sin^2x\operatorname dx=\frac12(x-\sin\;x\;\cos\;x)+C\)
12. \(\int\cos^2x\operatorname dx=\frac12(x+\sin\;x\;\cos\;x)+C\)
13. \(\int\sin^nx\operatorname dx=-\frac{\sin^{n-1}\;x\;\cos\;x}n+\frac{n-1}n\int\sin^{n-2}x\;\operatorname dx+C,\;n\geq2\)
14. \(\int\cos^nx\operatorname dx=-\frac{\cos^{n-1}\;x\;\sin\;x}n+\frac{n-1}n\int\cos^{n-2}x\;\operatorname dx+C,\;n\geq2\)
15. \(\int arctg\;x\operatorname dx=x\;arctg\;x\;-\frac12\ln(1+x^2)+C,\;n\geq2\)

Гиперболические функции

1. \(\int sh\;x\operatorname dx=ch\;x\;+C\)
2. \(\int ch\;x\operatorname dx=sh\;x\;+C\)
3. \(\int\frac{\operatorname dx}{ch^2x}=th\;x\;+C\)
4. \(\int\frac{\operatorname dx}{sh^2x}=-cth\;x\;+C\)
5. \(\int th\;x\;\operatorname dx=\ln\left|ch\;x\right|\;+C\)
6. \(\int csch\;x\;\operatorname dx=\ln\left|th\;\frac x2\right|\;+C\)
7. \(\int sech\;x\;\operatorname dx=arctg\;sh\;x\;+C\)
8. \(\int cth\;x\;\operatorname dx=\ln\;\left|sh\;x\right|\;+C\)

Специальные функции

1. \(\int С_i(x)\;\operatorname dx=x\;С_i(x)-\sin\;(x)\;+C\)
2. \(\int S_i(x)\;\operatorname dx=x\;S_i(x)+\cos\;(x)\;+C\)
3. \(\int E_i(x)\;\operatorname dx=x\;E_i(x)-e^x\;+C\)
4. \(\int li(x)\;\operatorname dx=x\;li(x)-E_i(2\;\ln\;x)\;+C\)
5. \(\int\frac{li(x)}x\;\operatorname dx=\ln\;(x)\;li(x)-x+C\)