Эквивалентные функции

Что такое эквивалентные функции

Эквивалентные функции позволяют облегчить процесс вычисления пределов с помощью замены множителей в примерах с дробями и произведениями.

Функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x→α, если \( \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1.\)

Данное определение применимо к бесконечно большим и малым функциям.

Эквивалентность обозначается знаком ∼, т.е. чтобы показать, что функции α(x) и β(x) эквивалентны, нужно оформить запись следующим образом: α(x)∼β(x)

Для удобства следует использовать специальную таблицу.

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Свойства функций

Основные свойства бесконечно малых функций:

1. \(\alpha\sim\alpha,\;(\lim_{x\rightarrow a})\frac\alpha\alpha=1.\)
2. Если \(\alpha\sim\beta и \beta\sim\gamma, то \alpha\sim\gamma,\;(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac\alpha\gamma=\lim_{x\rightarrow\alpha}(\frac\alpha\beta\times\frac\beta\gamma)=1\times1=1).\)
3. Если \(\alpha\sim\beta и \beta\sim\gamma и \beta\sim\gamma, то (\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac\beta\alpha=\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac1{\displaystyle\frac\alpha\beta}=1).\)
4. Если \(\alpha\sim\alpha_1 и \beta\sim\beta и \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac\alpha\beta=\kappa, то и \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha_1}{\beta_1}=\kappa или \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac\alpha\beta=\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha_1}{\beta_1}.\)

Основные свойства эквивалентных бесконечно больших функций:

1. \(\frac{\alpha(x)-\beta(x)}{\alpha(x)}=(1-\frac{\beta(x)}{\alpha(x)})\overset{x-\alpha}{\rightarrow0}.\)
2. \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\alpha(x)\sim\lambda\beta(x), где \lambda=\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}.\)
3. \(\alpha(x)+\beta(x)\sim\alpha(x).\)

Применяемые определения 

Основные определения:

1. Функции \(\alpha(x) и \beta(x)\) бесконечно малы при \(x\rightarrow\alpha.\)
2. Если есть \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\neq0,\;\infty, то \alpha(x) и \beta(x)\) бесконечно малые одного и того же порядка при \(x\rightarrow\alpha \) 
3. Если есть \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0\) , то \(\alpha(x)\)— величина более высокого порядка малости, чем \(\beta(x)\) при \(x\rightarrow\alpha.\)
4. Если \(\not\ni\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\), то бесконечно малые \(\alpha(x) и \beta(x)\) несравнимы при \(x\rightarrow\alpha.\)
5. Суммой двух бесконечно больших функций при \(x\rightarrow\alpha\) является неопределенность.
6. Произведением бесконечно большой функции и функции, имеющей в точке α конечный ненулевой предел, является бесконечно большая функция при \(x\rightarrow\alpha.\)

Данных определений будет достаточно для решения пределов с применением понятия эквивалентности.

Применяемые теоремы

Теорема 1 (о замене эквивалентными в произведении и отношении):

Если \(\alpha_1(x),\;\alpha_2(x),\;\beta_1(x),\;\beta_2(x)\) являются бесконечно малыми при \(x\rightarrow\alpha и \alpha_1(x)\sim\beta_1(x),\;\alpha_2(x)\sim\beta_2(x)\) при \(x\rightarrow\alpha\), то

• \(\alpha_1(x)\times\alpha_2(x)\sim\beta_1(x)\times\beta_2(x);\)
• \(\frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)}\sim\frac{\beta_1(x)}{\beta_2(x)}\) при \(x\rightarrow\alpha;\)
• \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha_1(x)}{\alpha_2(x)}=\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\beta_1(x)}{\beta_2(x)}.\)

Теорема 2:

Для того чтобы бесконечно малые функции α(x) и β(x) были эквивалентными при \(x\rightarrow\alpha\), нужно, чтобы при \(x\rightarrow\alpha\) выполнялось любое из равенств:

• \(\alpha(x)-\beta(x)=\circ(\alpha(x));\)
• \(\alpha(x)-\beta(x)=\circ(\beta(x)).\)

Теорема 3:

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 4:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теорема 5 (о замене эквивалентных функций в пределах частного):

Если при \(x\rightarrow x_0, \alpha(x)\sim\alpha_1(x), \beta(x)\sim\beta_1(x)\) существует предел \(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{a_1(x)}{\beta_1(x)},\) то существует и предел \(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{a(x)}{\beta(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{a_1(x)}{\beta_1(x)}.\)

Сравнение функций

Сравнение бесконечно малых функций

1. Если \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{a(x)}{\beta(x)}\) есть конечное ненулевое число, то \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
2. Если \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{a(x)}{\beta(x)}\) есть ноль, то \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) является бесконечно малой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha\), а \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x) \)— бесконечно малой меньшего порядка.
3. Если \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{a(x)}{\beta(x)}\) есть бесконечность, то \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x)\) является бесконечно малой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha\), а \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) — бесконечно малой меньшего порядка.

Сравнение бесконечно больших функций

1. Если \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{a(x)}{\beta(x)}\) больше нуля и меньше бесконечности, то \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются бесконечно большими одного и того же порядка.
2. Если \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{a(x)}{\beta(x)}\) есть бесконечность, то \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) является бесконечно большой более высокого порядка, при \(x\rightarrow\alpha\). При этом \(\beta(x)\) имеет меньший порядок роста.
3. Если \(\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{a(x)}{\beta(x)}\) есть ноль, то \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x)\) является бесконечно большой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha.\)
4. Если \(\alpha(x) и \beta^n(x)\) являются бесконечно большими функциями одного и того же порядка, то функция \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta^n(x)\) называется бесконечно большой n-ного порядка.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Пример 1

Найти предел:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+4x\right)}{\sin\left(3x\right)} \)

Решение

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций. 

\(\ln\left(1+\alpha\right)\sim\alpha,\;\sin\left(\alpha\right)\sim\alpha\)

Следовательно,

\(lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+4x\right)}{\sin\left(3x\right)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{4x}{3x}=\frac43\)

Пример 2

Найти предел:

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}x\)

Решение

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

\(\sqrt[3]{1+x}\sim1+\frac x3\)

Следовательно,

\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}x=\lim_{x\rightarrow0}\frac{{(1+x)}^{\displaystyle\frac13}-1}x=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1+{\displaystyle\frac x3}-1}x=\frac13\lim_{x\rightarrow0}\frac xx=\frac13\)

Пример 3

Найти предел:

\(\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi}\frac{1+\cos\left(x\right)}{{(x-\mathrm\pi)}^2}\)

Решение

Произведем замену переменной

 \((x-\mathrm\pi)=y, где y\rightarrow0, если x\rightarrow\mathrm\pi\)

Преобразуем выражение.

\(L=\lim_{x\rightarrow\mathrm\pi}\frac{1+\cos\left(x\right)}{{(x-\mathrm\pi)}^2}=\lim_{y\rightarrow0}\frac{1+\cos\left(y+\mathrm\pi\right)}{y^2}\)

Применим формулу приведения:

\(\cos\left(y+\mathrm\pi\right)=-\cos\left(y\right)\)

Получим:

\(L=\lim_{y\rightarrow0}\frac{1-\cos\left(y\right)}{y^2}\)

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

\(1-\cos\left(y\right)\sim\frac{y^2}2\)

Следовательно,

\(L=\lim_{y\rightarrow0}\frac{1-\cos\left(y\right)}{y^2}=\lim_{y\rightarrow0}\frac{\displaystyle\frac{y^2}2}{y^2}=\frac12\)