Понятие теоремы Байеса и её применение

Теорема Байеса — что это простыми словами для чайников

Теоремой Байеса пользовались все, даже если никогда не слышали о ее существовании. Например, оценивали вероятность получить новую работу по тому, как прошло собеседование: опоздали вы или пришли вовремя, смогли ответить на все вопросы или нет. Вы добавляли новые данные – вероятность менялась. Так работает байесовский метод.  

Теорема Байеса – одна из главных теорем элементарной теории вероятности. Она позволяет определить вероятность будущего события по прошлому событию, которое с ним взаимосвязано. Иными словами, выяснить причины и следствия какого-то действия.

Для получения результата необходимо произвести множество расчетов. Именно теорему Байеса стали активно использовать только после цифровой революции в двадцатом веке. С тех пор она имеет несколько вариантов интерпретаций и используется во многих сферах деятельности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формула Байеса или формула гипотез

Формулировка теоремы имеет математический вид:

\( P (A|B) = P (B|A) * P (A) / P (B),\)

где

\(А \)– гипотеза;

\(B \)– событие;

\(P (A)\) – априорная вероятность гипотезы \(А\);

\(P (A|B)\) – вероятность гипотезы \(A\) при наступлении события \(B \) (апостериорная вероятность);

\(P (B|A)\) – вероятность наступления события \(B \) при истинности гипотезы \(A\);

\(P (B) \)– полная вероятность наступления события \(B\).

В данном случае гипотеза – это предполагаемая причина события. Априорная вероятность – это вероятность правильности гипотезы до события B. Здесь отвечают на вопрос, возможна ли данная причина в принципе. Апостериорная вероятность – вероятность правильности гипотезы после наступления события B. То есть может ли данная гипотеза быть причиной данного события.

Ловушки мотивированных рассуждений

Исследования показывают, что люди склонны оценивать математически верную вероятность события, опираясь на свой опыт. Поэтому правильный результат может сильно отличаться от ожидаемого.

Простой пример – если вам очень нравится шоколад, вы будете игнорировать заявления стоматологов о том, что он вызывает кариес. Если вам доставили неприятность, вы будете подозревать в ее совершении человека, который вас раздражает.

Такие рассуждения называют мотивированными. Они возникают, потому что чаще всего наши эмоции воздействуют быстрее и сильнее, чем разумные доводы. Безусловная уверенность в собственной правоте и излишняя поспешность могут привести к катастрофическим последствиям.

Чтобы мыслить разумно, необходимо развивать критическое мышление. Следует всегда учитывать вероятность ошибки и воспринимать ее спокойно. Помните: если вы ошибаетесь – вы учитесь.

Как применять теорему Байеса для решения реальных задач

Теорема Байеса находит применение во многих областях жизни. К примеру, в финансах она используется для оценок риска кредитования, в медицине – для определения точности результатов медицинских анализов и тестов.

Рассмотрим решение задач с применением данной теоремы.

Задача 1

 

Проводится некий эксперимент. На основании условий можно сделать четыре гипотезы: \(B1\), \(B2\), \(B3\), \(B4\).

Их вероятность:

\(P (B1) = 0,2\);

\(P (B2) = 0,1\);

\(P (B3) = 0,5\);

\(P (B4) = 0,2\).

В результате эксперимента произошло событие \(А\). Оно невозможно при гипотезах \(B1\) и \(B2\). Оно достоверно при гипотезах \(B3\) и \(B4\). Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение:

Условные вероятности гипотез равны:

\(P (A|B1) = 0\);

\(P (A|B2) = 0\);

\(P (A|B3) = 1\);

\(P (A|B4) = 1\).

По формуле Байеса:

\(P (B1|A) = 0\);

\(P (B2|A) = 0\);

\(P (B3|A) = 0,5 / (0,5 + 0,2) = 5/7\);

\(P (B4|A) = 2/7\).

Ответ: с большей вероятностью причиной события \( А\) стала гипотеза \(В3\).

Задача 2

Произошла авиакатастрофа. Исходя из условий, можно вывести четыре гипотезы: \(B1\), \(B2\), \(B3\), \(B4\).

Их вероятность:

\(P (B1) = 0,2\);

\(P (B2) = 0,4\);

\(P (B3) = 0,3\);

\(P (B4) = 0,1\).

После осмотра места крушения стало ясно, что произошло воспламенение горючего – событие \(А\).

По статистике, условные вероятности равны:

\( P (A|B1) = 0,9\);

\( P (A|B2) = 0\);

\(P (A|B3) = 0,2\);

\(P (A|B4) = 0,3\).

Найти апостериорные вероятности гипотез.

\(P (B1|A) = 2/3\);

\(P (B2|A) = 0\);

\(P (B3|A) = 2/9\);

\(P (B4|A) = 1/9\).

Ответ: с большей вероятностью причиной события \(А \) стала гипотеза \(В1\).

Теорема подвергалась целому ряду различных интерпретаций. Если использовать байесовскую, то она показывает изменения личного уровня доверия вследствие произошедших событий. Эти выводы стали основополагающими для байесовского анализа и ряда других расчетов.

 

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.67 (Голосов: 3)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»