Теоремы косинусов и синусов

Теоремы косинусов и синусов для треугольника

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике в геометрии используется теоремы синусов и косинусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

\(\frac a{\sin\;\alpha}=\frac b{\sin\;\beta}=\frac c{\sin\;\gamma}\)

ТС можно применять для расчета:

• неизвестных сторон, если даны два угла и одна сторона;

• неизвестных углов, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения:

\(\sin\;\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\;\alpha\)

Частые значения углов для тупоугольных треугольников: 

• \(\sin\;120^\circ=\sin\;\left(180^\circ-60^\circ\right)=\sin\;60^\circ=\frac{\sqrt3}2\)
• \(\sin\;150^\circ=\sin\;\left(180^\circ-30^\circ\right)=\sin\;30^\circ=\frac12\)
• \(\sin\;135^\circ=\sin\;\left(180^\circ-45^\circ\right)=\sin\;45^\circ=\frac{\sqrt2}2\)

R в формуле для вычисления синусов означает радиус вписанной окружности. Если мы выразим его, то получим:

\(R=\frac a{2\;\sin\;\alpha}=\frac b{2\;\sin\;\beta}=\frac c{2\;\sin\;\gamma}\)

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно 2-ух данных величин (две стороны или сторона и угол). Для вычисления частей произвольного треугольника необходимо хотя бы 3-и данных величины.

ТК используется для вычисления:

• неизвестной стороны, если даны две стороны и угол между ними;

• косинуса неизвестного угла, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения:

\(\cos\;\left(180^\circ-a\right)=-\cos\;a\)

Часто используемые значения: 

• \(\cos\;120^\circ=\cos\;\left(180^\circ-60^\circ\right)=-\cos\;60^\circ=-\frac12\)
• \(\cos\;150^\circ=\cos\;\left(180^\circ-30^\circ\right)=-\cos\;30^\circ=-\frac{\sqrt3}2\)
• \(\cos\;135^\circ=\cos\;\left(180^\circ-45^\circ\right)=-\cos\;45^\circ=-\frac{\sqrt2}2\)

Если необходим вывод приблизительного значения синуса или косинуса другого угла или вычисление угла по найденному С/К, то используется таблица Брадиса или калькулятор.

Формулы с доказательством, как найти угол

Докажем приведенную выше формулу для нахождения синуса.

Рассмотрим  ∆АВС со сторонами a, b, c и противолежащими углами α, β, γ.

Докажем, что \(\frac a{\sin\;\alpha}=\frac b{\sin\;\beta}=\frac c{\sin\;\gamma}.\)

Из вершины С треугольника АВС проходит высота CD.

Из прямоугольного ∆АСD, если α — острый угол, получаем:

\(CD=\beta\;\sin\;\alpha.\)

Если α — тупой угол, то:

\(CD=\beta\;\sin\;\left(180^\circ-\alpha\right)=\beta\;\sin\;\alpha\)

Аналогично из прямоугольного ∆BCD получаем:

\(CD=\alpha\;\sin\;\beta\)

Таким образом:

\(\alpha\;\sin\;\beta=\beta\;\sin\;\alpha,\) т.е. \( \frac a{\sin\;\alpha}=\frac b{\sin\;\beta}\)

Опуская высоту в треугольнике АВС из вершины А, аналогично имеем:

\(\frac b{\sin\;\beta}=\frac c{\sin\;\gamma}\)

Итак, \(\frac a{\sin\;\alpha}=\frac b{\sin\;\beta}=\frac c{\sin\;\gamma}.\)

Очевидно, что эта формула справедлива в случае прямоугольного треугольника АВС.

Теперь приведем доказательство формулы для нахождения значения косинуса.

Дан ∆АВС.

Рассмотрим векторы \(A\overset\rightharpoonup B,\;B\overset\rightharpoonup C,\;A\overset\rightharpoonup C.\)

Очевидно, \(B\overset\rightharpoonup C=A\overset\rightharpoonup C-A\overset\rightharpoonup B.\)

Возведем это равенство скалярно в квадрат:

\(B\overrightarrow C^2=B\overset\rightharpoonup C\times B\overset\rightharpoonup C=\left(A\overset\rightharpoonup C-A\overset\rightharpoonup B\right)\times\left(A\overset\rightharpoonup C-A\overset\rightharpoonup B\right)=A\overset\rightharpoonup C^2-A\overset\rightharpoonup B\times A\overset\rightharpoonup B-A\overset\rightharpoonup B\times A\overset\rightharpoonup C+A\overset\rightharpoonup B^2=A\overset\rightharpoonup C^2-2A\overset\rightharpoonup B\times A\overset\rightharpoonup C+A\overset\rightharpoonup B^2.\)

Используя теперь определение скалярного произведения векторов, имеем:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\times AC\times\cos\;A\)

где \( AB=\left|A\overset\rightharpoonup B\right|,\;AC=\left|A\overset\rightharpoonup C\right|,\;BC=\left|B\overset\rightharpoonup C\right| \) — длины сторон ∆АВС, ∠A — угол между сторонами АВ и АС.

Теорема доказана.

Примеры решения задач

Задача 1

В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB=10\), \(BC=12\). \(∠В=26°.\)

Найти \(АС.\)

Решение

\(b^2=a^2+c^2-2ac\;\cos\;\beta\)

Из этого \( b^2=12^2+10^2-2\times12\times10\;\cos\;26\;\frac\pi{180}=144+100-240(0.90)=28\)

Преобразуем \( \sqrt{28}=2\sqrt7.\)

Ответ: \(2\sqrt7.\)

Задача 2

В треугольнике \(ABC\),\( AC=3\), \(BC=5\), \(AB=6.\)

Найти \(cos ∠ACB.\)

Решение

\(AB^2=AC^2+BC^2-2AC\times BC\times\cos\;\angle ACB\)

Переставим члены уравнения и получим:

\(2AC\times BC\times\cos\;\angle ACB=AC^2+BC^2-AB^2\)

Поделим обе стороны 2AC\times BC и получаем cos ∠ACB:

\(\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC\times BC}=\frac{3^2+5^2-6^2}{2\times3\times5}=\frac{9+25-36}{30}=\frac{-2}{30}=-\frac1{15}\)

Ответ: \(-\frac1{15}.\)

Задача 3

В треугольнике \(ABC BC=\sqrt3\),\( AC=2\). \(∠ABC=60°\).

Найти $\backslash (sin\; \angle BAC\backslash )$.

Решение

\(\frac{BC}{\sin\;\angle BAC}=2R=\frac{AC}{\sin\;\angle ABC}\)

Произведем перекрестное умножение:

\(\sin\;\angle BAC=\frac{BC}{AC}\sin\;\angle ABC=\frac{\sqrt3}2\times\frac{\displaystyle\sqrt3}{\displaystyle2}=\frac34\)

Ответ: \(\frac34.\)

Задача 4

В остроугольном треугольнике \(ABC\) \(BC=2\sqrt3\), \(AC=2\). $\backslash (\angle ABC=30°.\backslash )$

$Найти$ $\backslash (\angle BAC\backslash )$ в градусах.

Решение

\(\frac{BC}{\sin\;\angle BAC}=2R=\frac{AC}{\sin\;\angle ABC}\)

Произведем перекрестное умножение:

\(\sin\;\angle BAC=\frac{BC}{AC}\sin\;\angle ABC=\frac{2\sqrt3}2\times\frac{\displaystyle1}{\displaystyle2}=\frac{\sqrt3}2\)

В градусах получим: \(∠BAC=120°\) либо \(∠BAC=60°\).

Так как \(ABC\) остроугольный треугольник, то \(∠BAC<90°\).

Тогда единственное решение: \(∠BAC=60°\).