Формулировка прямой и обратной теоремы Менелая

Теорема Менелая и ее формулировка

Схематично объяснение теоремы Менелая можно представить на рисунке:

Какие следствия из нее вытекают

Необходимо отметить, что запоминание положения букв в данной теореме не является обязательным. Целесообразно применение простого алгоритма, с помощью которого можно представить запись всех дробей. Схема решения:

• начертить треугольник с секущей, обозначить положение вершин и точек какими-либо буквами;
• установить ручку или карандаш в точку, соответствующую любой вершине треугольника, обойти стороны геометрической фигуры, при этом обязательно пройти через точки пересечения с прямой;
• поделить соседние отрезки в таком прядке, который получился во время их обхода;
• в итоге получится три дроби, произведение которых соответствует единице.

Алгоритм можно представить в виде чертежа:

С помощью такой простой схемы можно быстро восстановить запись формулы теоремы Менелая. Важные следствия, которые вытекают из данного утверждения

1. В случае, когда прямая в пространстве пересекает вершину треугольника, теорема Менелая не работает.
2. Если при начертании выбрать другую вершину в качестве стартовой точки или пойти в противоположную сторону, то уравнение сохранит справедливость, но изменится последовательность дробей.

Доказательство для прямой и обратной теоремы

Любое теоретическое утверждение нуждается в практическом подтверждении. В случае доказательства теоремы Менелая необходимо построить чертежи и использовать формулы, вытекающие из подобия треугольников или направленности векторов.

Через подобные треугольники

В том случае, когда расположение точек С₁, А₁ и В₁ соответствует одной прямой, то справедливо равенство:

\(\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\times \frac{BA_{1}}{A_{1}C}\times \frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1\)

Следует начертить прямую, проходящую через точку С и параллельную прямой АВ. Точку, в которой эта прямая пересекает прямую С1В1, можно обозначить с помощью буквы D. Схематично такие действия представлены на рисунке:

Так как треугольники АС₁В₁ и СDВ₁ подобны, то справедливо уравнение:

\(\frac{AC_{1}}{AB_{1}}=\frac{CD}{CB_{1}}\)

Исходя из того, что треугольники С₁ВА₁ и А₁DС подобны, получаем равенство:

\(\frac{BA_{1}}{BC_{1}}=\frac{A_{1}C}{CD}\)

Далее необходимо перемножить полученные формулы:

\(\frac{AC_{1}}{AB_{1}}\times\frac{BA_{1}}{BC_{1}}=\frac{CD}{CB_{1}}\times\frac{A_{1}C}{CD} \Rightarrow\frac{AC_{1}}{AB_{1}}\times\frac{BA_{1}}{BC_{1}}=\frac{A_{1}C}{CB_{1}}\Rightarrow\frac{AC_{1}}{BC_{1}}\times\frac{BA_{1}}{AC_{1}}\times\frac {CB_{1}}{AB_{1}}=1\)

Данное равенство служит доказательством необходимости.

Для доказательства достаточности необходимо подтвердить, что в случае выполнения данного равенства:

\(\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\times \frac{BA_{1}}{A_{1}C}\times \frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1\)

точки С₁, А₁ и В₁ будут расположены на одной прямой.

Целесообразно использовать при доказательстве методику «от противного». Для этого следует прочертить через точки С₁ и А₁ прямую и обозначить с помощью буквы В₂ точку, в которой эта прямая пересекает прямую АС. Схематично такие действия можно представить на рисунке:

Исходя из того, что С₁, А₁ и В₁ соответствуют одной прямой, то можно говорить о справедливости равенства:

\(\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\times \frac{BA_{1}}{A_{1}C}\times \frac{CB_{2}}{B_{2}A}=1\)

Также выполняется условие следующего уравнения:

\(\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\times \frac{BA_{1}}{A_{1}C}\times \frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1\)

Далее следует разделить полученное уравнение на первоначальную формулу:

\(\frac{CB_{2}}{B_{2}A}\times \frac{B_{1}A}{CB_{1}}=1\)

Исходя из данного равенства, получим:

\(\frac{CB_{2}}{B_{2}A}\times \frac{CB_{1}}{B_{1}A}\)

Согласно свойствам производных пропорций, можно сделать вывод о совпадении точек В₁ и В₂. В результате доказательство достаточности получено. Теорему Менелая можно считать полностью доказанной.

Рисунок будет иметь такой вид:

Доказательство теоремы Менелая 2 начинают с построения рисунка. Если на продолжениях сторон АВ, ВС и АС, которыми обладает треугольник АВС, отметить точки С₁, А₁ и В₁ соответственно, то точки С₁, А₁ и В₁ будут принадлежать одной прямой только в том случае, когда выполнимо равенство:

\(\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\times \frac{BA_{1}}{A_{1}C}\times \frac{CB_{1}}{B_{1}A}=1\)

Процесс подтверждения теоремы Менелая 2 аналогичен доказательству теоремы Менелая 1.

Через векторы

Отношением \(\frac{\vec{a}}{\vec{b}}\) направленных отрезков \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) принадлежащих одной прямой, либо расположенных на параллельных прямых, называют число k такое, при котором справедливо равенство:

\(\vec{a}=k\times \vec{b}\)

Согласно определению k>0, в случае, когда вектора ориентированы в одном направлении, и k<0, когда вектора противоположны друг другу.

Предположим, что прямые ВС, СА и АВ, содержащие стороны треугольника АВС, включают точки А₁, В₁ и С₁. Данные точки расположены на одной прямой только в том случае, когда выполняется равенство:

\(\frac{\vec{AB_{1}}}{\vec{B_{1}C}}\times \frac{\vec{CA_{1}}}{\vec{A_{1}B}}\times \frac{\vec{BC_{1}}}{C_{1}A}=1\)

Необходимо подтвердить, что в случае расположения точек А₁, В₁ и С₁ на одной прямой, равенство будет справедливо. Требуется построить перпендикуляры АМ, СК и BL, выходящие из вершин треугольника к рассматриваемой прямой. Треугольники АВ₁М и СВ₁К подобны, поэтому:

\(\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{AM}{CK}\)

\(\frac{CA_{1}}{A_{1}B}=\frac{CK}{BL}\)

\(\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=\frac{BL}{AM}\)

Из полученных формул можно вывести уравнение:

\(\frac{AB_{1}}{{B_{1}C}}\times \frac{{CA_{1}}}{A_{1}B}\times \frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1\)

Важно отметить, что допустимо два варианта:

• пара точек будет расположена на сторонах треугольника и одна находиться на продолжении стороны;
• все три точки размещены на продолжениях сторон геометрической фигуры.

В первом варианте только одно отношение направленных отрезков будет соответствовать отрицательному значению, а во втором – все три.

Таким образом:

\(\frac{\vec{AB_{1}}}{\vec{B_{1}C}}\times \frac{\vec{CA_{1}}}{\vec{A_{1}B}}\times \frac{\vec{BC_{1}}}{C_{1}A}=-1\)

Теорема считается доказанной. Можно предположить, что равенство справедливо, но точки А₁, В₁ и С₁ не находятся на одной прямой. Тогда прямая А₁В₁ будет пересекать прямую АВ, точка С₂ будет являться точкой пересечения. В таком случае можно записать уравнение:

\(\frac{\vec{AB_{1}}}{\vec{B_{1}C}}\times \frac{\vec{CA_{1}}}{\vec{A_{1}B}}\times \frac{\vec{BC_{2}}}{C_{2}A}=-1\)

Заметим, что выполняется равенство:

\(\frac{\vec{AB_{1}}}{\vec{B_{1}C}}\times \frac{\vec{CA_{1}}}{\vec{A_{1}B}}\times \frac{\vec{BC_{1}}}{C_{1}A}=-1\)

В таком случае:

\(\vec{BC_{2}}{C_{2}A}={\vec{BC_{1}}}{C_{1}A}\)

Таким образом, точки С₁ и С₂ будут совпадать, что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

Задача 1

Треугольник АВС обладает сторонами АВ и ВС, на которых отмечены точки D и Е соответственно. Также справедливо равенство:

\(AD=\frac{3}{8}AB\)

\(BE=\frac{1}{5}BC\)

Отрезки АЕ и CD пересекают друг друга в точке F, как показано на рисунке. Требуется определить отношение отрезков АЕ и CD, поделенных точкой F.

Решение

Следует использовать теорему Менелая для треугольника BCD.

В таком случае:

\(\frac{BE}{EC}\times \frac{CF}{FD}\times \frac{DA}{AB}=1\Rightarrow \frac{1}{4}\times \frac{CF}{FD}\times \frac{3}{8}=1\Rightarrow \frac{CF}{FD}=\frac{32}{3}\)

Необходимо применить теорему Менелая для треугольника АВЕ.

\(\frac{AD}{DB}\times \frac{BC}{CE}\times \frac{EF}{FA}=1\Rightarrow \frac{3}{5}\times \frac{5}{4}\times \frac{EF}{FA}=1\Rightarrow \frac{EF}{FA}=\frac{4}{3}\)

Ответ: \( \frac{CF}{FD}=\frac{32}{3}\), \( \frac{EF}{FA}=\frac{4}{3}\)

Задача 2

На рисунке изображен треугольник. Исходя из его характеристик, необходимо определить отношение \(\frac{x}{y}\)

Согласно теореме Менелая, получим равенство:

\(\frac{x}{y}\times \frac{5}{1}\times \frac{2}{3}=1\)

Таким образом:

\( \frac{x}{y}=\frac{3}{10}\)

Ответ: \( \frac{3}{10}\)

Задача 3

На рисунке изображена геометрическая фигура в виде треугольника. Исходя из данных на схеме, требуется рассчитать отношение \(\frac{x}{y}\)

Решение

Руководствуясь теоремой Менелая, запишем уравнение:

\(\frac{x}{y}\times \frac{1}{2}\times \frac{4a}{3a}=1\)

Таким образом:

\(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\)

Ответ: \( \frac{3}{2}\)