Возрастание и убывание функции

Что такое возрастающие и убывающие функции

И убывающая, и возрастающая функции относятся именно к понятию монотонной. 

Также важно знать, что существует постоянная функция, значение которой не меняется на всем промежутке графика.

Свойства и признаки, пример

Достаточными условиями для возрастания или убывания функций являются следующие признаки:

1. Если производная y=f(x)>0 для любого x из интервала X, то f возрастает на X.
2. Если производная y=f(x)<0 для любого x из интервала X, то f убывает на X.

Кроме этого, у монотонных функций есть характерные особенности, называемые свойствами. Они помогают в решении задач различной сложности: начиная от функций с логарифмами и заканчивая неравенствами с функциями. Свойства:

1. Если функции  и  возрастают/убывают на интервале $\left(a,b\right),$ то их сумма также возрастает/убывает на этом интервале.
2. Если функция  возрастает/убывает на интервале $\left(a,b\right),$ то функция -f убывает/возрастает на этом интервале.
3. Если функция  возрастает/убывает на интервале $\left(a,b\right),$ то функция \frac1f убывает/возрастает на этом интервале.
4. Если функции  и  возрастают/убывают на интервале $\left(a,b\right)$, а $f\ge 0$, $g\ge 0$, то f\times g также возрастает/убывает на этом интервале.
5. Если функция  возрастает/убывает на интервале $\left(a,b\right),$ а функция  возрастает/убывает на интервале $\left(c,d\right),$ где g:(a,b)\(\rightarrow\)(c,d) то сложная функция y=f(g(x)) также возрастает/убывает на интервале $\left(a,b\right).$

Рассмотрим пример-доказательство для убывающей функции:

Доказать, что f(x)=x²+1 возрастает при \(x\geq0\).

Возьмем точки x₁ и x₂, чтобы \(0\leq x_1\leq x_2.\) Посмотрим на разность значений функции в данных точках.

\(f(x_2)-f(x_1)=({x^2}_2+1)-({x^2}_1+1)={x^2}_2-x_1^2=(x_2-x_1)\times(x_2+x_1).\)

Видим, что \(x_2-x_1>0 \) и \( x_2+x_1>0\). Следовательно, \(f(x)=x^2+1\) — возрастающая.

ЧТД.

Возрастающими являются также следующие функции:

• \(y=a(x), (a>0);\)
• \(y=a^x, (a>1);\)
• \(y=\log_a\left(x\right), (a>1).\)

Убывающими же являются функции:

• \(y=a(x), (a<0);\)
• \(y=a^x, (0<a<1);\)
• \(y=\log_a\left(x\right), (0<a<1).\)