Как найти угол между векторами

Угол между векторами

Определение

Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.

Угол между векторами
 

На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:

\(\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.

Острый:

Острый угол между векторами
 

Тупой:

Тупой угол между векторами
 

Прямой:

Прямой угол
 

С величиной \(0^\circ\) (то есть, векторы сонаправлены):

0 градусов
 

С величиной \(180^\circ\) (векторы направлены в противоположные стороны):

180 градусов
 

Нахождение угла между векторами

Как правило, угол между \( \overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.

Определение

Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.

Формула скалярного произведения:

\(\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)=\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|\times\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)\)

  1. Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
  2. Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен \(0^\circ\), а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
  3. Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
  4. Если α равен \(180^\circ\), то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
  5. Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус \(90^\circ\) равен 0.

В случае, если \overrightarrow a и \overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}\)

Расчет угла, если вектор задан координатами

В случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде \(\overrightarrow a=\left(a_x;a_y\right)\) и \(\overrightarrow b=\left(b_x;b_y\right)\), то угол между ними можно найти следующим образом:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}=\frac{a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2}}\)

Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:

\(\overrightarrow a=\left(a_x;a_y;a_z\right)\)

\( \overrightarrow b=\left(b_x;b_y;b_z\right)\)

то формула принимает такой вид:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}=\frac{a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}\)

Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат

В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.

Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Решение

Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:

\(\overrightarrow{AC}=(6-3, -1-(-2))=(3,1)\)

\(\overrightarrow{BC}=(6-2, -1-1)=(4,-2)\)

После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BC}}\right)=\frac{(\overrightarrow{AC};\;\overrightarrow{BC})}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{3\cdot4+1\cdot(-2)}{\sqrt{3^2+1^2}\cdot\sqrt{4^2+{(-2)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}\cdot2\sqrt5}=\frac{10}{10\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}\)

Ответ: \(\cos\left(\widehat{\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BC}}\right)=\frac1{\sqrt2}.\)

Примеры решения задач

Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.

Задача 1

Известно, что \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\). Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.

Решение

Применим формулу:

\( \cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}\)

Подставим известные значения:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{-9}{3\cdot6}=-\frac12\)

Далее найдем угол между данными векторами:

\(arc\cos\left(-\frac12\right)=\frac{3\pi}4\)

Ответ: \(\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=-\frac12,\;\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{3\pi}4.\)

Задача 2

В пространстве даны координаты \(\overrightarrow a=(8; -11; 7)\) и \(\overrightarrow b=(-2; -7; 8)\). Вычислить угол α между ними.

Решение

Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}=\frac{a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}\)

Подставляем значения и получаем:

\(\cos\left(\alpha\right)=\frac{8\cdot(-2)+(-11)\cdot(-7)+7\cdot8}{\sqrt{8^2+{(-11)}^2+7^2}\cdot\sqrt{{(-2)}^2+{(-7)}^2+8^2}}=\frac{117}{\sqrt{234}\cdot\sqrt{117}}=\frac{\sqrt{117}}{\sqrt{234}}=\frac1{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}\)

Теперь находим угол α:

\(\alpha=arc\cos\left(\frac2{\sqrt2}\right)=45^\circ\)

Ответ: \(45^\circ\).

Задача 3

Известны \(\overrightarrow a=(3; 4)\) и \(\overrightarrow b=(2; 5)\). Найти угол между ними.

Решение

Для расчета используем формулу:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}=\frac{a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2}}\)

Подставим известные значения и получим:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}=\frac{a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2}}=\frac{3\cdot2+4\cdot5}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+5^2}}=\frac{26}{\sqrt{25}\cdot\sqrt{29}}=\frac{26}{5\sqrt{29}}\)

Ответ: \(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{26}{5\sqrt{29}}\)

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.25 (Голосов: 4)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»