Угол между плоскостями

Углы между плоскостями — обозначение

Рассмотрим данное понятие наглядно с помощью картинки:

Допустим, α и β — пересекающиеся плоскости. Проведем к линии с перпендикуляр a, который принадлежит α. Далее проведем прямую b, лежащую в β и образующую с прямой c угол в 90°. Угол между α и β равен углу, который образовался между а и b, обозначенному на картинке как φ. В записи это выглядит следующим образом:

∠(α, β)=∠(а, b)=φ

На схеме видно, что при пересечении α и β возникают четыре угла, но углом между плоскостями считается острый угол. В случае, когда плоскости при пересечении создают прямые углы, они считаются перпендикулярными друг другу.

Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними

Существует несколько вариаций взаимного расположения двух плоскостей.

Параллельность

Возьмем за условие, что плоскости α, расположенной в некоторой прямоугольной системе координат, соответствует общее уравнение: А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0. А плоскость β определяется общим уравнением вида: А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0.

Согласно теореме о параллельности плоскостей, чтобы α и β являлись параллельными, достаточно отсутствия решений системы линейных уравнений вида:

\(\left\{\begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{array}\right.\)

То есть приведенная выше система должна быть несовместной.

Доказательство

Допустим, указанные плоскости, соответствующие уравнениям А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 параллельны друг другу, следовательно, у них отсутствуют общие точки. Это значит, что нет ни одной точки в прямоугольной системе координат, находящейся в трехмерном пространстве, чьи координаты отвечали бы условиям обоих уравнений одновременно или:

\(\left\{\begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{array}\right.\)

не имеет решения.

В случае, если данная система уравнений не имеет решений, то в прямоугольной системе координат трехмерного пространства отсутствуют точки с координатами, одновременно отвечающими условиям обоих уравнений, входящих в рассматриваемую систему. Отсюда можно сделать вывод, что плоскости α и β с соответствующими им уравнениями А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 не обладают ни одной общей точкой, а значит, являются параллельными. Теорема доказана.

Перпендикулярность

Две плоскости перпендикулярны друг другу, в ситуации, когда они при взаимном пересечении образуют прямой угол, то есть угол в 90°.

Доказательство

Пусть: AB∈α, AB⊥β, AB∩β=A.

Необходимо доказать, что α⊥β.

1. α∩β=AC, причем AB⊥AC по условию.
2. Проведем прямую AD, принадлежащую плоскости β и перпендикулярную AC.
3. ∠BAD=90°, поскольку AB⊥β. Следовательно, заданные плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Доказательство

Допустим, в трехмерном пространстве существует некоторая прямоугольная система координат. При наличии нормальных векторов заданных плоскостей α и β с координатами:

\(\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),\)

\(\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2),\)

то необходимо и достаточно, чтобы эти векторы приняли вид:

\(\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{\;n_2}\right)=0\Leftrightarrow A_1\times A_2+B_1\times B_2+C_1\times C_2=0\)

Отсюда следует, что:

\(\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),\)

\(\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2)\)

— нормальные векторы плоскостей α и β. Чтобы заданные плоскости были перпендикулярными, достаточно, чтобы скалярное произведение данных векторов ровнялось нулю, то есть принимало вид:

\(\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{\;n_2}\right)=0\Leftrightarrow A_1\times A_2+B_1\times B_2+C_1\times C_2=0\)

Равенство соблюдено.

Угол между плоскостями

Для вычисления угла между двумя пересекающимися плоскостями используют метод координат. Суть данного способа заключается в нахождении косинуса угла, образованного при пересечении плоскостей.

Предположим, что плоскости P₁ и P₂ заданы следующими уравнениями:

\(P_1:\;A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\;{\overline N}_1=\left(A_1,B_1,C_1\right);\)

\(P_2:\;A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,\;{\overline N}_2=\left(A_2,B_2,C_2\right)\)

Найдем косинус угла между P₁ и P₂ по формуле:

\(\cos\left(\overbrace{P_1,P_2}\right)=\frac{\overline{N_1}\times\overline{N_2}}{\left|\overline{N_1}\right|\times\left|\overline{N_2}\right|}\frac{A_1\times A_2+B_1\times B_2+C_1\times C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\times\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\)

Запишем в ответе модуль косинуса угла, поскольку за величину угла между плоскостями принимают острый угол. 

Примеры решения задач

Задача №1

Плоскости заданы уравнениями:

\(\alpha:\;x-y+1=0\)

\(\beta:y-z+1=0\)

Определить пересекаются ли α и β. В случае пересечения заданных плоскостей найти угол между ними.

Решение:

Найдем угол между заданными плоскостями:

\(\alpha:\;x-y+1=0,\Rightarrow\overline{N_1}=(1,-1,0);\)

\(\beta:\;y-z+1=0,\Rightarrow\overline{N_2}=(0,1,-1)\)

Далее вычислим косинус угла между α и β:

\(\cos\left(\overbrace{\alpha,\beta}\right)=\frac{\overline{N_1}\times\overline{N_2}}{\left|\overline{N_1}\right|\times\left|\overline{N_2}\right|}=\frac{1\times0+\left(-1\right)\times1+0\times\left(-1\right)}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2+0^2}\times\sqrt{0^2+1^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{-1}{\sqrt4}=-\frac12\)

В ответе запишем модуль найденной величины.

Ответ: плоскости α и β пересекаются, а косинус угла между ними равен ½.

Задача №2

Плоскость α проходит через точку A(1,1,−1) и перпендикулярна к плоскостям, заданным уравнениями:

\(\beta:\;2x-y+5z+3=0;\)

\(\varphi:\;x+3y-z-7=0\)

Составьте уравнение плоскости α.

Решение:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности α к плоскостям β и φ является параллельность α к нормалям β и φ — N₁ и N₂, иными словами, α должна быть перпендикулярна к произведению векторов [N₁,N₂].

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\beta:\;2x-y+5z+3=0,\Rightarrow\;\overline{N_1}=\left(2,-1,5\right)\)

\(\varphi:\;x+3y-z-73=0,\Rightarrow\;\overline{N_2}=\left(1,3,-1\right)\)

\(\left[N_1,N_2\right]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-1&5\\1&3&-1\end{vmatrix}=i\left(1-15\right)-j\left(-2-5\right)+k\left(6+1\right)=-14i+7j+7k\)

Следующим шагом выпишем уравнение плоскости α, проходящей через точку A(1,1,−1) и перпендикулярную вектору [N₁,N₂]=(−14,7,7):

\(-14\left(x-1\right)+7\left(y-1\right)+7\left(z+1\right)=\left.0\right|:7\)

\(-2\left(x-1\right)+y-1+z+1=0\)

\(−2x+y+z+2=0\)

Ответ: \(−2x+y+z+2=0.\)