Как перемножать скобки: правила, примеры
Как умножать выражения в скобках
Умножение — операция над аргументами в математике: множимым и множителем.
Множимое — повторяемое слагаемое — компонент, который умножается.
Множитель — показывает, сколько раз множимое слагаемое повторяется в выражении.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Результатом умножения является произведение.
При упрощении алгебраических выражений необходимо раскрывать скобки.
Раскрыть скобки можно с помощью:
- Распределительного закона умножения:
\(a(b\pm c)=ab\pm ac. \)
- Формул сокращенного умножения:
\(\begin{array}{l}(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\\(a+b)(a-b)=a^2-b^2\end{array}.\)
Если выражение в скобках содержит сумму или разность переменных, то такое выражение называют многочленом. Каждый компонент многочлена является одночленом. Число перед одночленом — коэффициент. Если перед одночленом не указано число, то подразумевают один или минус один — зависит от знака.
Как вынести общий множитель за скобки
Общий множитель — наибольший общий делитель.
Операцию вынесения общего множителя за скобки используют при разложении многочлена на множители. Разложение многочлена на множители подразумевает его преобразование в равное этому многочлену произведение.
Правило вынесения общего множителя за скобки:
Чтобы вынести общий множитель, записывают исходное выражение в виде произведения общего множителя и суммы, заключенной в скобки, без общего множителя.
Для вынесения общего множителя за скобки используют распределительный закон или распределительное свойство умножения справа налево:
\(ab\pm ac=a(b\pm c)\) — сумма преобразуется в произведение.
Алгоритм нахождения общего множителя для членов многочлена:
- Найти для каждого коэффициента делители.
- Выбрать делитель, на который делится каждый коэффициент одночленов в многочлене.
- Вынести этот делитель за скобки.
- Найти переменные, которые встречаются в каждом члене многочлена.
- Вынести за скобки эти переменные в наименьшей степени из встречающихся.
- Разделить каждый член многочлена на полученный за скобками одночлен.
В многочлене в скобках должно остаться столько членов, сколько было в исходном.
Метод вынесения общего множителя за скобки на примере числового выражения:
\(5\times{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}+{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}\times8={\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}(5+8)\).
В этом выражении выносят за скобки общий множитель 3. Исходное выражение записывается как произведение общего множителя и суммы всех исходных слагаемых, кроме
общего множителя.
Дано числовое выражение \(5\ast2-4\ast2+2\ast3\). Это сумма трех слагаемых.
Есть общий множитель 2. По правилу получают: \(2\ast(5-4+3)\).
Полная запись решения: \(5\ast2-4\ast2+2\ast3=2\ast(5-4+3)\).
Примеры вынесения общего множителя за скобки
Вынести общий множитель: \(abc-ab\).
Алгоритм:
- Раскладываем каждый одночлен на множители:
\(abc=a\times b\times c; ab=a\times b\).
- Находим одинаковые множители: \( abc+ab=a\times b\times c+a\times b=\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b\).
- Одинаковые множители выносим за скобку и перемножаем, а каждый компонент в скобках делим на это произведение:\( \boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c}{\boldsymbol a\boldsymbol b}+\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b}{\boldsymbol a\boldsymbol b}).\)
- Упрощаем полученное выражение: \(\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c}{\boldsymbol a\boldsymbol b}+\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b}{\boldsymbol a\boldsymbol b})=ab(c+1)\).
\(abc+ab=a\times b\times c+a\times b=ab(\frac{a\times b\times c}{ab}+\frac{a\times b}{ab})=ab(c+1)\)
Вынесите общий множитель многочлена за скобки: \(25kp-15k^2p\).
Объяснение задания.
Чтобы вынести общий множитель за скобку:
- Находим общие делители одночленов.
\(25kp=5\times5\times k\times p\)
\(15k^2p=3\times5\times k\times k\times p\)
Общими делителями будут 5, k, p.
- Перемножаем общие делители и выносим их за скобку. В скобках каждый компонент делим на получившийся общий делитель:
\(25kp-15k^2p=\mathbf5\times5\times\boldsymbol k\times\boldsymbol p-3\times\mathbf5\times\boldsymbol k\times k\times\boldsymbol p=5kp(\frac{5\times5\times k\times p}{5kp}-\frac{3\times5\times k\times k\times p}{5kp})=5kp(5-3k).\)
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку
Раскрытие скобок — умножение переменной или числа на выражение в скобках.
Чтобы умножить число или переменную на скобку, нужно число или переменную умножить на каждый компонент в скобках и упростить выражение.
Упростите выражение: \(4(3ab+2c^2)\).
Решение.
- Умножаем 4 на каждое слагаемое в скобках: \(4(3ab+2c^2)=4\times3ab+4\times2c^2\).
- Перемножаем: \(4\times3ab+4\times2c^2=12ab+8c^2\).
- Ищем подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. Подобные слагаемых нет, значит, мы упростили выражение.
\(4(3ab+2c^2)=4\times3ab+4\times2c^2=12ab+8c^2.\)
При умножении выражения на скобку действует то же правило.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена.
Раскройте скобки: \(3ab(5ac+2b-4a^2)\).
- Умножаем 3ab на каждый член многочлена в скобках: \(3ab(5ac+2b-4a^2)={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast5ac+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast2b-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast4a^2.\)
- Перемножаем:\( {\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast5ac+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast2b-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast4a^2=3\ast5a\ast abc+3\ast2ab\ast b-3\ast4a\ast a^2b=15a^2bc+6ab^2-12a^3b.\)
- Ищем подобные слагаемые. Подобных слагаемых нет, значит, записываем ответ.
\(3ab(5ac+2b-4a^2)=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3\ast5a\ast abc+3\ast2ab\ast b-3\ast4a\ast a^2b=15a^2bc+6ab^2-12a^3b\)
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.
Раскройте скобки:\( (a-6b)(3ab+a^2)\).
- Сначала рассмотрим первую скобку: \(a-6b\). Выражение представляем как сумму: \(a-6b=a+(-6b)\). Мы получили два множителя: a и \((-6b)\).
- Умножаем каждый множитель на каждый компонент в скобках: \(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}\mathit)\mathit={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit\ast}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}\mathit-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}b}\mathit\ast\mathit3ab\mathit-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}b}\mathit\ast a^{\mathit2}.\)
При умножении на отрицательный компонент знак меняется.
- Упрощаем: \({\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit\ast}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}\mathit-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}b}\mathit\ast\mathit3ab\mathit-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}b}\mathit\ast a^{\mathit2}\mathit=\mathit3a^{\mathit2}b\mathit+\mathit\;a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit-\mathit6a^{\mathit2}b.\)
- Ищем подобные слагаемые: \({\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit2}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\mathit+\mathit\;a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit2}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}.\)
- Упрощаем:\( \mathit3a^{\mathit2}b\mathit-\mathit6a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit=\mathit-\mathit3a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}.\)
- Больше подобных слагаемых нет, записываем ответ.
\(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}\mathit)\mathit=a\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}\mathit\ast a\mathit-\mathit6b\mathit\ast\mathit3ab\mathit-\mathit6b\mathit\ast a^{\mathit2}\mathit=\mathit3a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit-\mathit6a^{\mathit2}b\mathit=\mathit3a^{\mathit2}b\mathit-\mathit6a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit=\mathit-\mathit3a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}.\)
Решите уравнение: \(3(x-4x)=0\).
Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни или доказать, что корней нет.
Корень уравнения — значение переменной, при которой получается верное равенство.
Объяснение решения.
- Раскрываем скобки: умножаем 3 на каждый компонент в скобках.
\(\begin{array}{l}3(x-4x)=0\\3\ast x-3\ast4x=0\\\end{array}.\)
- Перемножаем:\( \begin{array}{l}3\ast x-3\ast4x=0\\3x-12x=0\\\end{array}.\)
- В выражении есть подобные слагаемые\( ‒ 3x и (-12x)\).
- Упрощаем:\( \begin{array}{l}3x-12x=0\\-9x=0\\\end{array}.\)
- Осталось найти икс:
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:
\(\begin{array}{l}x=0\div(-9)\\x=0\end{array}.\)
- Выполняем проверку. Для этого найденное значение подставляем в исходное выражение и сравниваем правую и левую части: \(\begin{array}{l}3(0-4\ast0)=0\\0=0\end{array}.\)
- Получаем верное равенство, значит, \(x=0\) — корень уравнения.
- Записываем ответ: 0.
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так