Как перемножать скобки: правила, примеры

Содержание:
Содержание

Как умножать выражения в скобках

Умножение — операция над аргументами в математике: множимым и множителем.

Множимое — повторяемое слагаемое — компонент, который умножается.

Множитель — показывает, сколько раз множимое слагаемое повторяется в выражении.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Результатом умножения является произведение.

При упрощении алгебраических выражений необходимо раскрывать скобки.

Раскрыть скобки можно с помощью:

  1. Распределительного закона умножения:
Важно 1

\(a(b\pm c)=ab\pm ac. \)

  1. Формул сокращенного умножения:
Важно 2

\(\begin{array}{l}(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\\(a+b)(a-b)=a^2-b^2\end{array}.\)

Если выражение в скобках содержит сумму или разность переменных, то такое выражение называют многочленом. Каждый компонент многочлена является одночленом. Число перед одночленом — коэффициент. Если перед одночленом не указано число, то подразумевают один или минус один — зависит от знака.

Как вынести общий множитель за скобки

Общий множитель — наибольший общий делитель.

Операцию вынесения общего множителя за скобки используют при разложении многочлена на множители. Разложение многочлена на множители подразумевает его преобразование в равное этому многочлену произведение.

Правило вынесения общего множителя за скобки:

Чтобы вынести общий множитель, записывают исходное выражение в виде произведения общего множителя и суммы, заключенной в скобки, без общего множителя.

Для вынесения общего множителя за скобки используют распределительный закон или распределительное свойство умножения справа налево:

Формула

\(ab\pm ac=a(b\pm c)\) — сумма преобразуется в произведение.

Алгоритм нахождения общего множителя для членов многочлена:

  1. Найти для каждого коэффициента делители.
  2. Выбрать делитель, на который делится каждый коэффициент одночленов в многочлене.
  3. Вынести этот делитель за скобки.
  4. Найти переменные, которые встречаются в каждом члене многочлена.
  5. Вынести за скобки эти переменные в наименьшей степени из встречающихся.
  6. Разделить каждый член многочлена на полученный за скобками одночлен.

В многочлене в скобках должно остаться столько членов, сколько было в исходном.

Метод вынесения общего множителя за скобки на примере числового выражения:

Пример 1

\(5\times{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}+{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}\times8={\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}(5+8)\).

В этом выражении выносят за скобки общий множитель 3. Исходное выражение записывается как произведение общего множителя и суммы всех исходных слагаемых, кроме

общего множителя.

Дано числовое выражение \(5\ast2-4\ast2+2\ast3\). Это сумма трех слагаемых.

Есть общий множитель 2. По правилу получают: \(2\ast(5-4+3)\).

Полная запись решения: \(5\ast2-4\ast2+2\ast3=2\ast(5-4+3)\).

Примеры вынесения общего множителя за скобки

Пример 2

Вынести общий множитель: \(abc-ab\).

Алгоритм:

  1. Раскладываем каждый одночлен на множители:

\(abc=a\times b\times c; ab=a\times b\).

  1. Находим одинаковые множители: \( abc+ab=a\times b\times c+a\times b=\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b\).
  2. Одинаковые множители выносим за скобку и перемножаем, а каждый компонент в скобках делим на это произведение:\( \boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c}{\boldsymbol a\boldsymbol b}+\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b}{\boldsymbol a\boldsymbol b}).\)
  3. Упрощаем полученное выражение: \(\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c}{\boldsymbol a\boldsymbol b}+\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b}{\boldsymbol a\boldsymbol b})=ab(c+1)\).

\(abc+ab=a\times b\times c+a\times b=ab(\frac{a\times b\times c}{ab}+\frac{a\times b}{ab})=ab(c+1)\)

Пример 3

Вынесите общий множитель многочлена за скобки: \(25kp-15k^2p\).

Объяснение задания.

Чтобы вынести общий множитель за скобку:

  1. Находим общие делители одночленов.

\(25kp=5\times5\times k\times p\)

\(15k^2p=3\times5\times k\times k\times p\)

Общими делителями будут 5, k, p.

  1. Перемножаем общие делители и выносим их за скобку. В скобках каждый компонент делим на получившийся общий делитель:

 

\(25kp-15k^2p=\mathbf5\times5\times\boldsymbol k\times\boldsymbol p-3\times\mathbf5\times\boldsymbol k\times k\times\boldsymbol p=5kp(\frac{5\times5\times k\times p}{5kp}-\frac{3\times5\times k\times k\times p}{5kp})=5kp(5-3k).\)

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Раскрытие скобок — умножение переменной или числа на выражение в скобках.

Чтобы умножить число или переменную на скобку, нужно число или переменную умножить на каждый компонент в скобках и упростить выражение.

Пример 4

Упростите выражение: \(4(3ab+2c^2)\).

Решение.

  1. Умножаем 4 на каждое слагаемое в скобках: \(4(3ab+2c^2)=4\times3ab+4\times2c^2\).
  2. Перемножаем: \(4\times3ab+4\times2c^2=12ab+8c^2\).
  3. Ищем подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. Подобные слагаемых нет, значит, мы упростили выражение.

\(4(3ab+2c^2)=4\times3ab+4\times2c^2=12ab+8c^2.\)

При умножении выражения на скобку действует то же правило.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена.

Пример 5

Раскройте скобки: \(3ab(5ac+2b-4a^2)\).

  1. Умножаем 3ab на каждый член многочлена в скобках: \(3ab(5ac+2b-4a^2)={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast5ac+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast2b-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast4a^2.\)
  2. Перемножаем:\( {\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast5ac+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast2b-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\ast4a^2=3\ast5a\ast abc+3\ast2ab\ast b-3\ast4a\ast a^2b=15a^2bc+6ab^2-12a^3b.\)
  3. Ищем подобные слагаемые. Подобных слагаемых нет, значит, записываем ответ.

\(3ab(5ac+2b-4a^2)=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3\ast5a\ast abc+3\ast2ab\ast b-3\ast4a\ast a^2b=15a^2bc+6ab^2-12a^3b\)

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

Пример 6

Раскройте скобки:\( (a-6b)(3ab+a^2)\).

  1. Сначала рассмотрим первую скобку: \(a-6b\). Выражение представляем как сумму: \(a-6b=a+(-6b)\). Мы получили два множителя: a и \((-6b)\).
  2. Умножаем каждый множитель на каждый компонент в скобках: \(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}\mathit)\mathit={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit\ast}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}\mathit-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}b}\mathit\ast\mathit3ab\mathit-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}b}\mathit\ast a^{\mathit2}.\)

При умножении на отрицательный компонент знак меняется.

  1. Упрощаем: \({\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit\ast}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}\mathit-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}b}\mathit\ast\mathit3ab\mathit-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 1.0}b}\mathit\ast a^{\mathit2}\mathit=\mathit3a^{\mathit2}b\mathit+\mathit\;a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit-\mathit6a^{\mathit2}b.\)
  2. Ищем подобные слагаемые: \({\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit3}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit2}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}\mathit+\mathit\;a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit6}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathit2}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}b}.\)
  3. Упрощаем:\( \mathit3a^{\mathit2}b\mathit-\mathit6a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit=\mathit-\mathit3a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}.\)
  4. Больше подобных слагаемых нет, записываем ответ.

\(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}\mathit)\mathit=a\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^{\mathit2}\mathit\ast a\mathit-\mathit6b\mathit\ast\mathit3ab\mathit-\mathit6b\mathit\ast a^{\mathit2}\mathit=\mathit3a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit-\mathit6a^{\mathit2}b\mathit=\mathit3a^{\mathit2}b\mathit-\mathit6a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}\mathit=\mathit-\mathit3a^{\mathit2}b\mathit+a^{\mathit3}\mathit-\mathit{18}ab^{\mathit2}.\)

Пример 7

Решите уравнение: \(3(x-4x)=0\).

Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни или доказать, что корней нет.

Корень уравнения — значение переменной, при которой получается верное равенство.

Объяснение решения.

  1. Раскрываем скобки: умножаем 3 на каждый компонент в скобках.

\(\begin{array}{l}3(x-4x)=0\\3\ast x-3\ast4x=0\\\end{array}.\)

  1. Перемножаем:\( \begin{array}{l}3\ast x-3\ast4x=0\\3x-12x=0\\\end{array}.\)
  2. В выражении есть подобные слагаемые\( ‒ 3x и (-12x)\).
  3. Упрощаем:\( \begin{array}{l}3x-12x=0\\-9x=0\\\end{array}.\)
  4. Осталось найти икс:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:

\(\begin{array}{l}x=0\div(-9)\\x=0\end{array}.\)

  1. Выполняем проверку. Для этого найденное значение подставляем в исходное выражение и сравниваем правую и левую части: \(\begin{array}{l}3(0-4\ast0)=0\\0=0\end{array}.\)
  2. Получаем верное равенство, значит, \(x=0\) — корень уравнения.
  3. Записываем ответ: 0.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.00 (Голосов: 1)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Другие статьи:

Умножение комплексных чисел

Предыдущая статья
Уравнение касательной

Следующая статья

Поиск по содержимому