Умножение комплексных чисел

Что такое комплексные числа и их умножение

В математических науках часто применяют при решении задач не только натуральные, рациональные и вещественные числа, но и комплексные.

Рассмотреть комплексное число можно на доказательстве примера. Если записать обычное множество в виде z = a + ib, то под мнимой единицей будет подразумеваться выражение \(i = \sqrt{-1}\). Числа \(a,b \in \mathbb{R}\) являются вещественными числами.

В том случае, когда b = 0, комплексное число трансформируется в вещественное число. Исходя из этого, можно сделать вывод, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Запись данного заключения будет иметь следующий вид подмножества:

\(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)

Следует отметить, что также допустимо равенство:

a = 0

Согласно принятым правилам, мнимая часть комплексного числа записывается в виде:

Im(z) = b

Действительная часть комплексного числа представляет собой выражение:

Re(z) = a

Рассмотрев множество на примере, можно представить формулировку комплексно-сопряженных чисел.

Разница между записанными числами заключается в неодинаковых знаках перед действительным и мнимым компонентом чисел.

В математической науке для данных чисел предусмотрено несколько форм. Таким образом, одинаковые числа достаточно просто записать разными методами:

1. Алгебраическая форма: \(z = a+ib\).
2. Показательная форма: \(z = |z|e^{i\varphi}\).
3. Тригонометрическая форма: \(z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))\).

С помощью несложных манипуляций одну форму числа можно перевести в другой вариант записи. Алгебраическая запись является более распространенной. Однако допустимо изображать комплексные числа на плоскости. В итоге получим числа \(a,b \in \mathbb{R}\) расположенные на соответствующих осях плоскости.

Комплексное число z = a+ib можно представить в качестве вектора \(\overline{z}\). При этом для обозначения аргумента можно использовать запись \(\varphi\). При определении модуля |z| используют длину вектора \(\overline{z}\) и соответствующую формулу:

\(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\)

С помощью различных уравнений, выбор которых определяется полуплоскостью, в котором расположено само число, определяют аргумент комплексного числа \(\varphi\).

Справедливы следующие закономерности:

1. a>0, то \(\varphi = arctg\frac{b}{a}\).
2. a<0, b>0, то \(\varphi = \pi + arctg\frac{b}{a}\).
3. a<0, b<0, то \(\varphi = -\pi + arctg\frac{b}{a}\).

Умножить комплексные числа в алгебраической форме можно, таким образом:

\(z_1 \cdot z_2 = (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2)+i(a_1 b_2 + a_2 b_1)\)

Операция умножения комплексных чисел, записанных в показательном варианте, имеет следующий вид:

\(z_1 \cdot z_2 = |z_1|e^{i\varphi_1} \cdot |z_2|e^{i\varphi_2} = |z_1|\cdot|z_2|\cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}\)

Разновидности формул умножения в зависимости от формы записи

Благодаря наличию специальных формул, можно оперативно выполнять различные операции с комплексными числами, включая примеры из тригонометрии. Теоретический порядок действий при умножении зависит от того, в какой форме записано комплексное число.

Формула умножения в алгебраической форме

В данном случае для того чтобы умножить комплексные числа, необходимо перемножить их компоненты, поочередно раскрывая скобки, согласно формуле. При этом следует учитывать, что \(i^2 = -1\).

В итоге получим:

\(z_1 \cdot z_2 = (x_1+y_1i) \cdot (x_2 + y_2i) = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2) + (x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)i\)

Формула умножения в показательной форме

Если требуется найти произведение комплексных чисел, которые записаны в показательной форме, то целесообразно воспользоваться способом прямого перемножения всех элементов:

\(z_1 \cdot z_2 = r_1e^{\varphi_1 i} \cdot r_2e^{\varphi_2 i} = r_1\cdot r_2 \cdot e^{(\varphi_1+\varphi_2)i}\)

Формула умножения в тригонометрической форме

Найти произведение комплексных чисел, записанных с помощью тригонометрической формы, можно, таким образом:

\(z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot (\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))\)

Примеры решения задач с комплексными числами

Задача 1

Необходимо представить алгебраическую форму комплексного числа в виде тригонометрической и показательной записи. Комплексное число:

z = 4-4i

Решение

В первую очередь следует определить модуль комплексного числа:

\(|z| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

Далее целесообразно найти аргумент:

\(\varphi = arctg \frac{b}{a} = arctg \frac{-4}{4} = arctg (-1) = -\frac{\pi}{4}\)

В результате можно составить тригонометрическую форму комплексного числа, которое дано в условии задачи:

\(z = 4\sqrt{2}\bigg(\sin(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) \bigg)\)

Таким же способом можно представить комплексное число в показательной форме:

\(z = 4\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}i}\)

Ответ: \(z = 4\sqrt{2}\bigg(\sin(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) \bigg)\), \(z = 4\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}i}\)

Задача 2

Требуется найти произведение пары комплексных чисел:

\(z_1 = 3+i\)

\(z_2 = 2-3i\)

Решение

В первую очередь следует записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i)\)

Затем целесообразно приступить к раскрытию скобок и перемножить множители поэлементно:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i)= (3 \cdot 2 + 3 \cdot (-3i) + i \cdot 2 + i \cdot (-3i)\)

Полученное равенство можно упростить. Для этого нужно учитывать, что:

\(i^2 = -1\)

Запишем готовое выражение:

\(6 - 9i + 2i + 3 = 9 - 7i\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 9 - 7i\)

Задача 3

Даны комплексные числа:

\(z_1 = 3e^{\frac{\pi}{2}i}\)

\(z_2 = 2e^{\frac{\pi}{3}i}\)

Необходимо найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Вначале требуется записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = 3e^{\frac{\pi}{2}i} \cdot 2e^{\frac{\pi}{3}i}\)

Путем перегруппировки множителей и применения свойства степени:

\(e^x \cdot e^y = e^{x+y}\)

Преобразуем выражение:

\(3 \cdot 2 \cdot e^{(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})i} = 6e^{\frac{5\pi}{6}i}\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 6e^{\frac{5\pi}{6}i}\)

Задача 4

Даны комплексные числа:

\(z_1 = 2\bigg (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \bigg )\)

\(z_2 = 4 \bigg (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4} \bigg )\)

Требуется найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Если необходимо умножить комплексные числа, представленные в тригонометрической форме, то целесообразно сложить их аргументы и перемножить модули:

\(z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 4 \cdot \bigg ( \cos (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) + i\sin (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) \bigg ) = 8 \bigg (\cos \frac{7}{12} + i\sin \frac{7}{12} \bigg )\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 8 \bigg (\cos \frac{7}{12} + i\sin \frac{7}{12} \bigg )\)

Задача 5

Необходимо выполнить несколько действий с комплексными числами:

\(z_1 = 3+i\)

\(z_2 = 5-2i\)

Требуется найти их сумму и разность.

Решение

В первую очередь следует сложить комплексные числа. В этом случае нужно найти сумму соответствующих мнимых частей комплексных чисел:

\(z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 - i\)

Аналогичным способом можно найти разность комплексных чисел:

\(z_1 - z_2 = (3+i) - (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i\)

Ответ: \(z_1 + z_2 = 8 - i; z_1 - z_2 = -2 + 3i\)

Задача 6

Даны комплексные числа:

\(z_1 = 3+i\)

\(z_2 = 5-2i\)

Необходимо найти их произведение и выполнить деление комплексных чисел.

Решение

Вначале нужно записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i)\)

Далее требуется раскрыть скобки и выполнить приведение подобных слагаемых с учетом, что:

\(i^2 = -1\)

Таким образом, получим:

\(15 - 6i + 5i -2i^2 = 15 - i - 2\cdot(-1) = 15 - i + 2 = 17 - i\)

Затем необходимо поделить первое число на второе:

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3+i}{5-2i}\)

Принцип деления заключается в исключении комплексного числа, которое расположено в знаменателе. Для того чтобы получить результат, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю. По итогу следует раскрыть все скобки:

\(=\frac{(3+i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)} = \frac{15 + 6i + 5i + 2i^2}{25 + 10i - 10i -4i^2} =\)

\(= \frac{15 + 11i -2}{25 + 4} = \frac{13 + 11i}{29}\)

Поделив числитель на 29, можно записать дробь алгебраическим способом:

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{13}{29} + \frac{11}{29}i\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 17 - i; \frac{z_1}{z_2} = \frac{13}{29} + \frac{11}{29}i\)

Задача 7

Дано комплексное число:

z = 3+3i

Данное число требуется возвести в степени:

• n=2
• n=7

Решение

В первом варианте:

\(n = 2\)

Комплексное число достаточно просто возвести в квадрат, если умножить его само на себя:

\(z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) =\)

Применяя формулу, справедливую для умножения, следует раскрыть скобки и привести подобные:

\(=9 + 9i + 3i\cdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i - 9 = 18i\)

В итоге получим:

\(z^2 = (3+i)^2 = 18i\)

Во втором варианте:

n = 7

Данный пример отличается повышенной сложностью вычислений, по сравнению с первым примером, где потребовалось лишь возвести комплексное число в квадрат. Если пойти стандартным путем и умножать комплексное число само на себя 7 раз, то вычисления могут занять неопределенное время. Упростить задачу легко, если применить к решению формулу Муавра. Данная закономерность справедлива в случае операций с комплексными числами, которые записаны в тригонометрической форме. По условиям задачи число представлено в алгебраическом виде. Поэтому в первую очередь целесообразно перевести его в тригонометрическую форму.

Требуется найти модуль:

\(|z| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

Далее следует вычислить аргумент:

\(\varphi = arctg \frac{3}{3} = arctg(1) = \frac{\pi}{4}\)

Можно записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(z = 3\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})\)

Возведение в степень n = 7 будет выглядеть следующим образом:

\(z^7 = (3\sqrt{2})^7 (\cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4}) =\)

Представить наглядный ответ лучше в алгебраической форме. Для этого необходимо выполнить ряд манипуляций:

\(=(3\sqrt{2})^7 (\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}) = 3^7 \sqrt{2}^7 (\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}) = 3^7 \sqrt{2}^6 (1-i) = 3^7 \cdot 8(1-i) =\)

\(= 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i)\)

Ответ: \(z^2 = (3+i)^2 = 18i; \) \(z^7 = 17496(1-i)\).

Задача 8

Необходимо извлечь корень \(\sqrt[3]{-1}\) над множеством \(\mathbb{C}.\)

Решение

Следует преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму. Для этого необходимо найти значение модуля и аргумента:

\(|z| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+0} = \sqrt{1}=1\)

\(\varphi = arctg \frac{0}{-1} +\pi = arctg 0 + \pi = \pi\)

В результате получим выражение:

\(z = (\cos \pi + i\sin \pi)\)

С помощью формулы Муавра представляется возможным найти значение корней какой-либо степени:

\(z^\frac{1}{n} = r^\frac{1}{n}\bigg(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\bigg)\)

\(k=0,1,...,n-1\)

По условию степень соответствует n = 3. Таким образом, согласно формуле:

k = 0,1,2

В результате получим:

\(z_0 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(z_1 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{3\pi}{3}+i\sin \frac{3\pi}{3}) = -1\)

\(z_2 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: \(z_0 = \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2};\) \(z_1 = -1\); \(z_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Задача 9

Необходимо найти решение для квадратного уравнения:

\(x^2 + 2x + 2 = 0\) над \(\mathbb{C}\)

Решение

Найти ответ на данную задачу следует, используя общую формулу. Для начала необходимо вычислить дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4\)

В результате получим:

\(D=-4<0\)

Однако на этом решение задачи не заканчивается. По условию требуется определить уравнение над комплексным множеством. Получение в итоге отрицательного дискриминанта говорит только о том, что в выражении отсутствуют вещественные корни. Это утверждение не отменяет наличие комплексных корней. Таким образом, следует их найти:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\pm \sqrt{-4}}{2} =\)

Можно отметить, что:

\(\sqrt{-4} = 2\sqrt{-1} = 2i\)

Далее следует продолжить вычисления:

\(= \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i\)

В результате получаются комплексно-сопряженные корни:

\(x_1 = -1 – i\)

\(x_2 = -1 - i\)

Ответ: \(x_1 = -1 – i;\) \(x_2 = -1 - i\)