Решение уравнения касательной через график производной функции

Геометрический смысл производной функции в точке

Производная функции, имеющей вид f(x), в некой точк  \(x_0\) является пределом отношения приращения функции \(\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) к приращению аргумента \(\Delta x\), если \(\Delta x\rightarrow 0\), и данный предел существует.

Вывод формулы имеет следующий вид:

\(f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Графически производную можно изобразить в виде кривой таким образом:

График
Источник: egemaximum.ru

Разберем типичный пример в доказательство определению. Попробуем найти производную записанным ранее методом \((x^2+1)\):

\((x^2+1)'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((x+\Delta x)^2+1)-(x^2+1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x\)

Согласно историческим фактам, одновременно с написанием работы Ньютона по изучению процессов в физике и формулировке понятия производной Лейбницем было введено определение производной с помощью геометрических закономерностей. Узнать, в чем состоит геометрический смысл производной, можно с помощью исследования графика функции y=f(x) на плоскости:

исследования графика функции y=f(x) на плоскости
Источник: math24.biz

В качестве обозначения точки \(х0\), соответствующей значению заданной функции, используем Р. Затем построим некую секущую, которая будет пересекать точки Р и Р1. Предположим, что полученный угол, образованный положительным направлением оси абсцисс Х и построенной секущей, равен \(\beta\).

Результатом наших действий является геометрическая фигура под названием прямоугольный треугольник, катеты которого соответствуют переменным \(\triangle x\) и \(\triangle y\). Введем обозначения:

  • \(\triangle x\) обозначает приращение аргумента функции;
  • \(\triangle y \) является приращением функции непосредственно.

Приращение функции относится к приращению аргумента, как тангенс угла, образованный секущей и положительным направлением оси абсцисс:

\(\frac{\triangle x}{\triangle y}=tg \beta\)

Когда значение \(\triangle x\) стремится к нулю, точка Р1 на изображенном графике смещается в сторону точки Р. Положение секущей в таком случае меняется по отношению к графику.

Секущая занимает предельное положение в виде прямой, когда приращение стремится к нулю. Точки Р и Р1 на данной прямой будут совмещены. Рассматриваемая прямая является касательной к графику в точке Р.

Запишем следующее соотношение:

\(tg\beta \rightarrow tg\alpha, если \triangle x\rightarrow 0\)

Геометрический смысл производной: производная функции в точке обладает значением, численно равным тангенсу угла наклона касательной к функции в рассматриваемой точке.

Известным фактом является то, что какая-либо прямая обладает уравнением, которое можно записать в общем виде:

\(y=k \cdot x+b\)

В уравнении касательной к функции в некой точке Р коэффициент k определяется, как значение производной в точке х0:

\(\lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{\triangle x}{\triangle y}=tg \alpha = k\)

В процессе решения практических заданий нередко можно встретить примеры, где требуется использовать геометрический смысл производной. Одной из подобных задач является изучение графически заданной функции в сравнении с графиком производной искомой функции.

Уравнение касательной к графику функций

Представим, что имеется некая функция \(y=f(x)\). Отметим на ее графике точку \(x_o\). Если провести касательную, пересекающую данную точку, то ее можно задать с помощью следующего уравнения:

\(\Large{y_k=f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o)}\)

В результате угловой коэффициент касательной будет определен по формуле:

\(k=f'(x_o)\)

В качестве наглядного примера изобразим график по исходным данным:

В качестве наглядного примера изобразим график по исходным данным:
Источник: shkolkovo.net

Определение таких значений для k и b, при которых прямая \(y_k=kx+b\) играет роль касательной к функции \(y=f(x)\), заключается в решении одной из следующих систем:

\(\Large{\begin{cases} k=f'(x_o)\\ b=f(x_o)-f'(x_o)\cdot x_o\end{cases}}\)

\(\Large{\begin{cases} k=f'(x_o)\\ f(x_o)=y_k(x_o)\end{cases}}\)

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

Составить уравнение, с помощью которого задана касательная к графику функции, несложно. Нужно лишь следовать следующему алгоритму и выполнять действия в таком порядке:

  1. Рассчитать значение \( f\left( {{x}_{0}} \right).\)
  2. Записать формулу производной функции \({f}’\left( x \right).\)
  3. Определить значение \({f}’\left( {{x}_{0}} \right).\)
  4. Выполнить подстановку \({{x}_{0}},\text{ }f\left( {{x}_{0}} \right)\) и \({f}’\left( {{x}_{0}} \right) \)в формулу уравнения касательной \(y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right).\)

Рассмотрим конкретный пример. Попробуем составить уравнение касательной к функции \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3.\) Выполним действия последовательно, руководствуясь записанным ранее алгоритмом:

\(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+3, {{x}_{0}}=3\)

\(f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 3 \right)={{3}^{2}}-2\cdot 3+3=6\)

\({f}’\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}^{\prime }}=2{x} -2\)

\({f}’\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( 3 \right)=2\cdot 3-2=4\)

\(\begin{array}{l}y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)=\\\text{ }=4\left( x-3 \right)+6=4{x} -12+6=4{x} -6\end{array}\)

Примеры решения задач

Задача 1

Функция \( y=\mathsf{f}\left( x \right)\) изображена графически. На этом же правильном графике построена касательная в точке, абсцисса которой равна \({x}_{0}.\)

Задача 1

 Требуется определить значения производной функции \(\mathsf{f}\left( x \right)\), которые она принимает в точке \({{x}_{0}}.\)

Решение

Согласно определению значения производной в точке касания, запишем:

\(f’\left( x \right)=k=\ {tg}\varphi\)

Заметим, что для вычисления значения производной требуется определить тангенс угла наклона касательной. Воспользуемся координатами пары точек, которые принадлежат касательной на графике, чтобы построить прямоугольный треугольник. Угол наклона касательной к оси абсцисс равен \(\angle BAC\). Определим тангенс рассматриваемого угла:

\(\ {tg}\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{5}=1,2.\)

В результате значение производной функции \(\mathsf{f}\left( x \right)\) в точке \({{x}_{0}}\) соответствует 1,2.

Ответ: 1,2.

Задача 2

 Дана некая функция \(y=\frac{1}{3}x^3-4x+1\). Требуется записать уравнение касательной к графику этой функции в точке \(x_0=3.\)

Решение

\(f'(x)=x^2-4\)

\(f'(3)=3^2-4=5\)

\(f(3)=\frac{1}{3}\cdot 3^3-4\cdot 3+1=9-12+1=-2.\)

В таком случае:

\(y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)

\(y_k=5(x-3)-2\)

\(y_k=5x-17\)

Ответ: \(y=5x-17.\)

 

Задача 3

 Изображено два графика функций:

\(f(x)=x^2+2x-3\)

\(ay+5x+6a=0\)

Нужно вычислить все значения, которые принимает параметр а при пересечении рассматриваемых графиков только в одной точке.

Решение

Функция \(f(x)\) на графике будет иметь вид параболы, пересекающей ось абсцисс в следующих точках:

x=-3

x=1

Данная парабола имеет одну точку пересечения с осью ординат:

y=-3

Если зафиксировать а, то при каждом таком значении \(ay+5x+6a=0\) будет иметь вид прямой:

  • если a=0, то прямая x=0 с единственной точкой пересечения с f(x), соответствующей (0;-3);
  • если \(a\ne 0,\) то получается пучок прямых \(y=-\dfrac{5}{a}x-6\), пересекающих точку (0;-6).

В результате графики обладают единственной общей точкой при таких значениях a, при которых прямая y будет касаться параболы. Касание в точке \(x_o\) возможно при следующих условиях:

\(\begin{cases} f'(x_o)=-\dfrac{5}{a}\\ f(x_o)=y(x_o) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_o=-\dfrac{5}{2a}-1\\ 8a^2-20a-25=0 \end{cases} \Rightarrow a=\dfrac{5}{4}(1 \pm \sqrt3)\)  

Задача 3
Источник: shkolkovo.net

Ответ: \(a\in \Big\{ \dfrac{5}{4}(1-\sqrt3); \ 0; \ \dfrac{5}{4}(1+\sqrt3)\Big\}.\)

 

Задача 4

 Имеется некое уравнение:

\(\dfrac{1}{3}x^3+2x^2-\dfrac{88}{3}=a(x+8)\)

Требуется определить все вероятные значения, которыми обладает параметр а, определяющие для данного уравнения единственное решение.

Решение

Проанализируем функцию и пучок, состоящий из прямых:

\(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+2x^2-\dfrac{88}{3}\)

\(y=a(x+8)\)

Точка максимума равна:

\(f'(x)=x^2+4x \Rightarrow x=-4=x_{max}\)

Точка минимума равна:

\(x=0=x_{min}\)

Запишем следующие соотношения:

\(f(x_{max})=-\dfrac{56}{3}\)

\(f(x_{min})=-\dfrac{88}{3}\)

Каждая из прямых \(y=ax+8a\) пересекает точку (-8;0). Выявим такие случаи, при которых прямая у будет касаться графика функции f(x) в точке касания \(x_o.\) Подберем под заданные условия значения параметра:

\(\begin{cases} f'(x_o)=a\\ f(x_o)=y(x_o) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_o^2+4x_o=a\\ 2x_o^3+30x_o^2+96x_o+88=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_o^2+4x_o=a\\ (x_o+2)^2(x_o+11)=0 \end{cases} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x_o=-2\\ a=-4 \end{cases}\\ &\begin{cases} x_o=-11\\ a=77 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\)

В результате уравнение \( f(x)=y\) обладает только одним значением, когда параметр а имеет значения, при которых прямые y проходят в заштрихованных участках. Отметим, что граничный случай a=77 является посторонним.

Задача 4
Источник: shkolkovo.net

График в уменьшенном масштабе:

График в уменьшенном масштабе
Источник: shkolkovo.net

Таким образом:

\(a\in (-\infty; 77)\)

Ответ: \(a\in (-\infty; 77).\)

 

Задача 5

 Записана система:

\(\begin{cases} \sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y+a)^2}=|a\sqrt2|\\ x^2+y^2\leqslant 18 \end{cases}\)

Нужно найти такие значения параметра а, при которых данная система обладает только одним решением.

Решение

С помощью первого из уравнений системы можно построить отрезок BC, где B(a;0), C(0;-a), при условии, что a≠0. Представим, что \(A(x;y)\). В таком случае:

\(\begin{aligned} &BA=\sqrt{(x-a)^2+y^2}\\[1ex] &AC=\sqrt{x^2+(y+a)^2}\\[1ex] &BC=\sqrt{(a-0)^2+(0+a)^2}=|a\sqrt2| \end{aligned}\)

Запишем первое из уравнений, как:

BA+AC=BC

Заметим, с помощью этого уравнения можно задать множество точек А, принадлежащих отрезку ВС. Если а=0, то рассматриваемое уравнение задает только одну точку O(0;0).

С помощью второго неравенства можно изобразить окружность, центр которой находится в точке O(0;0), а ее радиус равен \(R=3\sqrt2.\)

Система будет иметь лишь одно решение при параметре а≠0 — в том случае, когда отрезок касается окружности:

  • если a>0, отрезок BC располагается в 4 четверти;
  • если a<0, отрезок ВС располагается во 2 четверти.

Вариант с нулевым значением (а=0) также подходит под условия задачи, так как точка О лежит на окружности.

Задача 5
Источник: shkolkovo.net

Когда a>0, получим:

\(BO=CO=|a|=a\)

\(OK=3\sqrt2\), является радиусом, проведенным в точку касания.

В таком случае:

\(\dfrac12\cdot OB\cdot OC=S_{\triangle OBC}=\dfrac12\cdot OK\cdot BC \quad\Rightarrow\quad a\cdot a=3\sqrt2\cdot a\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=6.\)

Когда a<0, получим:

\(BO=CO=|a|=-a\)

В таком случае:

\(\dfrac12\cdot OB\cdot OC=S_{\triangle OBC}=\dfrac12\cdot OK\cdot BC \quad\Rightarrow\quad -a\cdot (-a)=3\sqrt2\cdot (-a\sqrt2) \quad\Rightarrow\quad a=-6.\)

Ответ: \(a\in \{-6;0;6\}.\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»