Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Составить уравнение плоскости по трем точкам

С таким термином, как плоскость, многие знакомы со школьного курса геометрии. Понятие кажется простым, то есть не нуждается в дополнительных разъяснениях. В отличие от реального мира, который нас окружает, в математике более углубленно рассматриваются те или иные геометрические объекты в пространстве.

В жизни плоскими принято считать те предметы, которые не обладают каким-либо выраженным объемом, измеряются посредством вычисления длины и ширины. Например, в компьютерных играх и графических редакторах подобным объектам соответствует формат 2D. Предположим, что имеется произвольный бумажный листок, напольное покрытие, стеновая или настольная поверхность. В обычной ситуации несложно заменить это слово синонимом плоскости.

Однако с точки зрения математики здесь имеется важный нюанс. Площадь исследуемых объектов обладает некоторыми границами, то есть является ограниченной. С другой стороны, плоскость распространяется в бесконечность без каких-либо границ и пределов. Исходя из вышесказанного, можно записать основную формулировку для понятия плоскости.

В разных научных источниках можно встретить ту или иную расшифровку термина. Целесообразно взять оба определения на вооружение, что упростит решение задач с формулами разного характера и уровня сложности. В первом случае раскрывается смысл свойств, характерных для плоскости. Второе понятие полезно, когда требуется разобраться со смыслом термина.

Определение плоскости относят к фундаментальным понятиям, которые часто используют в доказательстве геометрических закономерностей и теорем. Кроме того, термин используют и в других науках, к примеру, при решении заданий по физике часто можно прочитать в условиях о предметах и объектах, расположенных неподвижно или перемещающихся по некоторой плоскости.

С помощью плоскостей составляют разнообразные фигуры, обладающие каким-либо объемом. При рассмотрении куба несложно заметить грани в количестве шести штук. Любая из них представляет собой фрагмент плоскости. Аналогичным образом в состав правильной пирамиды входит две пары плоских элементов.

При работе с плоскостью возникает вопрос о корректности ее обозначения. Подобная необходимость возникает в процессе решения геометрических задач, когда требуется вычислить параметры и характеристики фигур, а также изобразить их на плоскости. В распространенных случаях схематично для изображения плоскости используют параллелограмм или какую-либо замкнутую область со сложной геометрией и произвольными границами. Обозначают плоскость с применением строчных букв греческого алфавита, к примеру,\(\alpha, \beta, \gamma\).

С целью обозначения плоскости применяют стандартное уравнение. Запишем данное соотношение, используя A; B; C для определения координат, соответствующих нормальному вектору рассматриваемой плоскости, и D в качестве идентификации свободного члена.

\(Ax \cdot + By + Cz + D = 0\)

Записанные в выражении выше коэффициенты в одно и то же время не могут обладать нулевыми значениями. В том числе, когда имеется хотя бы один нулевой коэффициент, соотношение считают неполным. При условии, что D равно нулю, плоскость пересекает центральную точку координатных осей. Сформулируем еще одно полезное для прикладного применения уравнение плоскости с точками, имеющими координаты \((x_0; y_0; z_0)\):

\(A(x-x_0)+B(y-y_0) + C(z-z_0)=0\)

Когда известны три точки, допустимо составить уравнение плоскости одним из двух действенных методов:

1. путем использования смешанного умножения векторов;
2. посредством выражения нормального вектора и с применением одной точки.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, через смешанное произведение векторов

Представим, что существует несколько точек. Обозначим их как \(M_1, M_2, M_3\). Пусть рассматриваемые точки не принадлежат единой прямой. Исходя из стереометрической аксиомы, три точки образуют единственную плоскость. Данную плоскость обозначим за \(\alpha\). При описании заданной плоскости в виде совокупности точек М подразумевается взаимная компланарность векторов \(\vec{M_1M_2}, \vec{M_1M_3} и \vec{M_1M}\).

Это возможно, когда результатом их умножения является нулевое значение. Таким образом, для расчета результата смешанного произведения потребуется найти определитель третьего порядка со строками, соответствующими координатам рассмотренных ранее векторов, то есть \(M, M_1, M_2, M_3 — (x; y; z), (x_1;y_1; z_1), (x_2;y_2; z_2), (x_3;y_3;z_3)\). В таком случае:

\(\vec{M_1M_2}=\{x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1\}\)

\(\vec{M_1M_3}= \{x_3-x_1; y_3-y_1; z_3-z_1\}\)

\(\vec{M_1M} = \{x-x_1; y-y_1; z-z_1\}\)

Запись определителя примет следующий вид:

\(\begin{array}{|ccc|} x-x_1 && y-y_1 && z-z_1 \\ x_2-x_1 && y_2-y_1 && z_2-z_1 \\ x_3-x_1 && y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array}=0\)

В результате последовательных математических преобразований получено уравнение плоскости через три точки. С целью более наглядного представления раскроем определитель по первой строке:

\(\begin{array}{|cc|} y_2-y_1 && z_2-z_1 \\ y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array} \cdot ( x-x_1) + \begin{array}{|cc|} x_2-x_1 && z_2-z_1 \\ x_3-x_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array} \cdot (y-y_1) + \begin{array}{|cc|} x_2-x_1 && y_2-y_1 \\ x_3-x_1 && y_3-y_1 \\ \end{array} \cdot (z-z_1) = 0\left(3\right)\)

Заметим аналогичное совпадение коэффициентов из уравнения с координатами векторного произведения \(\vec{M_1M_2}×\vec{M_1M_3}\). Вместе с тем, по причине неколлинеарности данной пары векторов и параллельности их заданной плоскости \(\alpha\) полученное произведение допустимо считать нормальным вектором к плоскости, описанной составленным уравнением.

Уравнение плоскости, заданной тремя точками, через нормальный вектор и точку

В качестве альтернативы в процессе составления уравнения плоскости допустимо использовать методику, подразумевающую применение нормального вектора плоскости и точки. Здесь важно соблюдать простой алгоритм действий, чтобы исключить какие-либо ошибки и неточности в окончательной записи полученного результата. При вычислении итога умножения для \(\vec{M_1M_2} и \vec{M_1M_3}\) следует руководствоваться следующим принципом:

\([\vec{M_1M_2} × \vec{M_1M_3}]= \begin{array}{|ccc|} \vec{i} &&\vec{j} &&\vec{k} \\ x_2-x_1 &&y_2-y_1 &&z_2-z_1 \\ x_3-x_1 &&y_3-y_1 &&z_3-z_1 \\ \end{array}=0\)

В результате сформирован нормальный вектор плоскости, для которой требуется записать соответствующее уравнение. При известной точке, расположенной на рассматриваемой плоскости, следует воспользоваться способом подстановки координат, задающих нормальный вектор, для записи итогового уравнения:

\(n_x(x-x_3)+n_y(y-y_3)+n_z(z-z_3)=0\)

Примеры решения задач

Решение

В первую очередь стоит проанализировать условия задания с известными величинами. Исходя из теоретических положений, в данном случае целесообразно воспользоваться вторым методом записи уравнения для рассматриваемой плоскости. Таким образом, на первом этапе потребуется найти координаты, соответствующие вектору. Сделать это несложно с помощью векторного умножения. Выполним последовательные вычисления, начиная с выражения векторных координат.

\(M_1M_2=\{1-1;2-2;4-3\}=\{0;0;1\}\)

\(M_1M_3=\{4-1;2-2;-1-3\}=\{3;0;-4\}\)

\([\vec{M_1M_2} × \vec{M_1M_3}]= \begin{array}{|ccc|} \vec{i} && \vec{j} && \vec{k} \\ 0 &&0 &&1 \\ 3 &&0 &&-4 \\ \end{array}=\vec{i} \cdot \begin{array}{|cc|}\\ 0 &&1 \\ 0 &&-4 \\ \end{array} + \vec{j} \cdot \begin{array}{|cc|} \\ 0 &&1 \\ 3 &&-4 \\ \end{array} + \vec{k} \cdot \begin{array}{|cc|} \\ 0 &&0 \\ 3 &&0 \\ \end{array}=0+(-3) \cdot \vec{j} + 0 \Rightarrow \vec{n}=\{0;-3;0\}\)

Путем подстановки координат нормального вектора получим следующий результат:

\(0\cdot(x-4)+(-3) \cdot (y-2)+0 \cdot(z+1)=0\)

Таким образом, уравнение плоскости примет вид:

-3y+6=0

Ответ: -3y+6=0

Решение

Выполним анализ условия задания. По уже знакомой из теоретического курса методике в данном случае следует начать с записи уравнения для совокупности плоскостей, которые проходят через точку \(M_{1}\). Такое математическое соотношение примет следующий вид:

A(x-3)+B(y-0)+C(z-4)=0

Затем можно приступить к выражению нормального вектора:

\(\vec{M_{1}M_{2}}=(5-3)\vec{i}+(6-0)\vec{j}+(9-4)\vec{k}=2\vec{i}+6\vec{j}+5\vec{k}\)

С помощью подстановки проекций 2, 6, 5, характерных для \(\vec{M_{1}M_{2}}\), вместо А, В, С в записанное ранее соотношение получим следующее справедливое равенство:

2(x-3)+6(y-0)+5(z-4)=0

Выполним несколько несложных математических преобразований с целью упростить запись:

2x+6y+5z-26=0

Ответ: 2x+6y+5z-26=0