Уравнения высших степеней

Вид уравнений высших степеней

Уравнения высших степеней имеют вид:

\(P(x)=0,\)

где\( p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n.\)

На практике коэффициенты \(a_0, a_1, a_{0-1}\), an всегда являются целыми числами.

\(a_0\) является старшим коэффициентом, который никогда не равен 0.

\(a_n \)— свободный член.

В таких уравнениях степень больше 2.

Чтобы решить уравнение высшей степени надо найти его корни, или обнаружить, что их нет. Корни представляют собой все значения переменной х, которые приводят многочлен к нулю или верному равенству.

Виды уравнений высших степеней:

1. Приведенные целые рациональные уравнения n-й степени.
2. Неприведенные.
3. Дробные рациональные.
4. Кубические.
5. Четвертой степени.
6. Биквадратные.
7. Симметричные. Признаком симметричных уравнений являются равные коэффициенты у одночленов, которые равноудалены от начала и конца многочлена, записанного в стандартном виде и стоящего в левой части уравнения.
8. Сводящиеся к возвратному.

На сегодняшний день в математике нет общих формул, которые бы подходили для решения уравнений высших степеней разных видов. Существуют различные системы для решения разных видов таких уравнений.

Методы решения уравнений высших степеней подразделяются на: стандартные и специальные.

Стандартные:

• разложение на множители;
• введение новой переменной.

Специальные:

• деление на подходящее выражение с переменной;
• выделение полного квадрата;
• схема Горнера;
• деление уголком;
• группировка скобок;
• специальная замена;
• представление дроби в виде двух дробей;
• через построение графика функции;
• метод введения параметра.

Теорема Виета

Теорема Виета применяется для решения приведенных квадратных уравнений.

Первый коэффициент в таких уравнениях равен единице.

\(x_1+x_2=-p,\)

\(x_1x_2=q.\)

Чтобы решить уравнения высших степеней по данной системе, их сначала приводят к квадратным уравнениям.

Теорема Безу

\(q= Р(α).\)

Схема решения:

Пусть \(α\) — корень уравнения \(Р(х)=0.\)

Тогда при замене вместо х на α, получим

\(Р(α)=0.\)

Это означает, что остаток при делении\( Р(х)\) на \(х-α\):

\(Р(α)=0=q.\)

Таким образом, если удалось подобрать корень α, то, в соответствии с теоремой Безу, многочлен \(Р(х)\) нацело разделится на \(х-α\).

Таким образом, данный метод решения уравнения высших степеней предполагает, что мы подбираем корень α.

В соответствии с теоремой Безу, остаток \(q\) при делении многочлена на \(х-α\) будет равен нулю, и мы получим уравнение уже на порядок ниже.

Затем, если оно по-прежнему не квадратное, повторяем процедуры, подбираем новый корень \(\alpha_1\). Снова делим на \(х-\alpha_1.\)

Снова получаем целое число, так как, по теореме Безу, остаток \(q=P(α)\). А если α — это корень, то остаток q равен нулю.

То есть, если корень подходит, то деление будет осуществляться нацело.

Как подобрать корень

Правило 1

Если \(a_0=1, \) \(a_i\in Z, \forall i.\)

Такое уравнение называется приведенным, когда старшая степень входит с коэффициентом, равным единице. Если уравнение приведенное, и \(α\) — целый корень, то \(α\) содержится в множестве делителей свободного члена:

\(\alpha\in\left\{da_n\right\}.\)

Корень уравнения находится среди делителей свободного члена \(a_n.\)

Правило 2

Если \(a_0≠1\), это неприведенное уравнение.

В этом случае необязательно, что корень будет лежать среди делителей свободного члена. Корень может быть нецелым. Если α рациональна, то корень содержится среди дробей вида, где в числителе стоят делители свободного члена, а в знаменателе стоят делители старшего коэффициента:

\(\alpha\in\left\{\frac{dan}{da_n}\right\}.\)

Схема Горнера

По данной схеме корень уравнения находят через делители свободного члена. Метод заключается в составлении таблицы, в которой отображаются в верхней строке все коэффициенты уравнения. А в первый столбик заносятся потенциальные варианты решения, то есть делители свободного члена.

Принцип заполнения таблицы:

1. Во втором столбце во вторую и последующие строчки сносится то, что находится в самом верхнем элементе второго столбика.
2. Чтобы найти число для второй строки третьего столбца, перемножают делитель, стоящий на второй строке, с соответствующим ему числом, находящемся во втором столбце и второй строчке, а затем к этому произведению прибавляют следующий коэффициент, стоящий наискосок.
3. Далее схема повторяется.
4. Продолжаем до тех пор, пока в какой-либо строке не получим нуль.
5. Для каждой новой строки прибавляем коэффициенты, а не числа, полученные в предыдущей строке.

Такая таблица позволяет не только проверять, является ли число корнем этого уравнения, но и параллельно осуществляет деление.

Метод Феррари для уравнений 4-ой степени

Метод Феррари позволяет решить уравнения четвертой степени через их приведение к кубическому виду. Далее они решаются по формуле Кардано. То есть используется алгоритм решения кубических уравнений.

Находят \(y_0\) — любой из корней кубического уравнения:

\(y^3-By^2+(AC-4D)y-A^2D+4BD-C^2=0.\)

Затем решают два квадратных уравнения:

\(x^2+\frac A2x+\frac{y_0}2\pm\sqrt{\left(\frac{A^2}4-B+y_0\right)x^2+\left(\frac A2y_0-C\right)x+\frac{y_0^2}4-D}=0.\)

Полный квадрат является подкоренным выражением.

Корни этих уравнений являются корнями исходного уравнения четвертой степени.

Примеры применения способов на практике

Решение заданий с помощью теоремы Безу

\(Р(х) = x^3+3x^2-2x+2;\)

\(Q(x) = x-1;\)

Необходимо найти остаток от деления \(Р(х)\) на \(Q(x)\). Используем деление столбиком.

Получим \(q=4.\)

В нашем примере число \(α = 1.\)

\(P(α)\) означает, что в многочлен \(Р(x)\) вместо х нужно подставить \(α\).

Тогда многочлен примет вид:

\(P(x)= 1^3+3\cdot1^2-2\cdot1+2.\)

\(P(x)=4.\)

Решение заданий при помощи схемы Горнера

Решим уравнение:

\(x^3+4x^2-6x-3=0.\)

Сначала выписываем делители свободного члена:

\(d{-3}:\pm1; \pm3.\)

Коэффициенты: 1, -4, 6, -3. Их заносим в верхнюю строчку таблицы.

В первый столбец занесем потенциальные кандидаты в решения, например, -1 и 1.

В первый столбец запишем единицу. Она просто носится по строкам.

Чтобы записать ответ во второй строке третьего столбца, умножим единицу на минус единицу и прибавим минус 4:

\(-1*1+4=-5.\)

По этому принципу заполняем всю таблицу.

В соответствии с таблицей, мы видим, что корень \(х=1\) подходит.

Далее находим корни в полученном квадратном уравнении \(x^2-3x+3=0.\)

Единственным корнем уравнения будет \(х=1.\)

Решение уравнений четвертой степени через разложение на множители и теорему Безу

\(3x^4-3x^3+2x^2+x+1=0.\)

\(P4(х) = 0.\)

Первый корень находим подбором среди делителей свободного члена.

Делители числа 1 — 1; -1.

Возьмем первое значение х=1 и подставим в уравнение вместо х.

Получим:

\(3\cdot1^4-3\cdot1^3+2\cdot1^2+1+1=0.\)

Получилось верное равенство, а, значит, единица является корнем.

Значит многочлен \(P4(х)\) делится без остатка на \((х-1).\)

Разделим столбиком и получим кубическое уравнение:

\(3x^3-2x-1=0.\)

Тогда запишем многочлен в виде множителей:

\((х-1)(3x^3-2x-1=0)=0.\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Тогда \((х-1)=0\) или \((3 *(3x^3-2x-1=0)=0.\)

Чтобы решить уравнение третьей степени так же находим корень подбором среди делителей свободного члена.

Повторяем деление столбиком многочлена на (х-корень).

Получаем квадратное уравнение.

Разложим многочлен четвертого уровня на множители:

\((х-1)(х-1)(3x^2-3x+1=0)=0.\)

Получим:

\(\left(x-1\right)^2(3x^2-3x+1=0)=0.\)

\(\left(x-1\right)^2=0\) или \((3x^2-3x+1=0)=0.\)

Из \(\left(x-1\right)^2=0\) получим: \(х=1\). Это корень второй кратности.

У квадратного уравнения \(3x^2-3x+1=0=0\) нет корней.

Ответ: \(x_1=x_2=1.\)

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Необходимо найти его корни.

Коэффициенты уравнения: \(a=3\), \(b=3\), \(c=-1\), \(d=-6.\)

Сначала составим кубическое уравнение:

\(y^3-By^2+(AC-4D)y-A^2D+4BD-C^2=0;\)

\(y^3-3y^2+21y-19=0.\)

Корень полученного кубического уравнения — \(y_0=1,\)

так как \(1^3-3\cdot1^2+21\cdot1-19=0.\)

Получим два квадратных уравнения и найдем их корни.

\(x^2+\frac A2x+\frac{y_0}2\pm\sqrt{\left(\frac{A^2}4-B+y_0\right)x^2+\left(\frac A2y_0-C\right)x+\frac{y_0^2}4-D}=0;\)

\(x^2+\frac32x+\frac12\pm\sqrt{\frac14x^2+\frac52x+\frac{25}4}=0;\)

\(x^2+\frac32x+\frac12+\frac12x+\frac52=0\) или \(x^2+\frac32x+\frac12-\frac12x-\frac52=0.\)

\(x^2+2x+3=0\) или \(x^2+x-2=0.\)

Корнями первого уравнения являются \(x=-1\pm i\sqrt2\), корнями второго — \(х = 1\) и \(х = -2.\)

Ответ: \(x_{1,2}=x=-1\pm i\sqrt2\), \(x_3=1, x_4=-2.\)