Вектор индукции магнитного поля

Магнитное поле и вектор магнитной индукции: определение

Магнитное поле возникает вокруг постоянных электрических токов и постоянных магнитов. 

Для регистрации магнитного поля в виде пробного тела используется электрический заряд, причем пробным телом для него могут являться стрелка компаса, элемент тока или рамка с током площадью S.

В данном случае в качестве вектора нормали выступает вектор n.

Используем правило правой руки: ладонь обхватывает проводник, и большой палец правой руки показывает направление тока. В таком случае остальные 4 пальца направлены на силовые линии, в данном примере — на искомое направление нормали n к рамке. Силовые линии всегда замкнуты.

Определение

Вектор магнитного момента рамки с током — это вектор, направление которого совпадает с нормалью к плоскости рамки, а его величина равна произведению силы тока, проходящего через рамку, на ее площадь (p_m=IS).

Единица измерения магнитного момента — Ампер ⋅ м².

Величина данного вектора равна максимальному вращающему механическому моменту сил М, взаимодействующему с рамкой. Механический момент ≈ магнитный момент рамки ⋅ sin угла поворота рамки. 

Вектор магнитной индукции является главной силовой характеристикой магнитного поля и определяет силу действия поля на заряд. По направлению он совпадает с положительной нормалью n к рамке с током и перпендикулярен элементарному току и направлению силы магнитного поля.

Принцип суперпозиции вектора индукции магнитного поля

Результирующая индукция магнитного поля, возникающая благодаря наличию в пространстве нескольких проводников с током, равна векторной сумме полей, возникающих от каждого тока в отдельности.

Данное правило справедливо как для магнитного, так и для электрического поля.

Закон Био-Савара-Лапласа (БСЛ)

Обозначение закона в векторной форме:

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><mover><mi>B</mi><mo>&#x21C0;</mo></mover><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>&#x3BC;</mi><mn>0</mn></msub><mrow><mn>4</mn><mi>&#x3C0;</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>I</mi><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi>d</mi><mover><mi>l</mi><mo>&#x21C0;</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>r</mi><mo>&#x21C0;</mo></mover></mrow></mfenced></mrow><msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup></mfrac></math>

В скалярной форме:

\(d\overset\rightharpoonup B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\mathcal l\sin\alpha}{r^2}\)

Модификации закона Био-Савара-Лапласа:

Магнитное поле прямого тока: \(\mathrm B=\frac{{\mathrm{μμ}}_02\mathrm I}{4\mathrm{πR}}\)

Магнитное поле кругового тока: \(\mathrm B=\frac{{\mathrm{μμ}}_0\mathrm I}{4\mathrm{πR}}\)

Обозначения:

\(\mu_0\) — магнитная постоянная;

\(\mu\) — относительная магнитная проницаемость среды;

\(dB\) — магнитная индукция;

I — сила тока;

R — расстояние от провода до точки определения магнитной индукции;

α — угол между вектором dl и r.

Если же взять за точку отсчета точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

\(d\overset\rightharpoonup B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\left[\overset\rightharpoonup r\times d\overset\rightharpoonup r\right]}{r^3}=\frac I{10^7}\frac{\left[\overset\rightharpoonup r\times d\overset\rightharpoonup r\right]}{r^3},\)

где r — вектор, описывающий кривую проводника с током I, dr — элемент проводника.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Данная теорема является следствием принципа суперпозиции и закона Био-Савара-Лапласа. 

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, пересекающих поверхность, ограниченную этим контуром, умноженной на магнитную постоянную.

\(\oint_L(\overset\rightharpoonup Bd\overset\rightharpoonup{\mathcal l)}=\mu_0{\textstyle\sum_{}}I_i\)

Формула для расчета вектора магнитной индукции прямолинейного тока, исходя из теоремы:

\(\oint_S\;B_{\mathcal l}d\mathcal l=\;B\oint_Sd\mathcal l=B2\pi R=\mu_0I, откуда В=\frac{\mu\cdot l}{2\mathrm{πR}}\)

Магнитный поток

Магнитный поток пропорционален числу силовых линий вектора магнитной индукции, пронизывающих определенную площадь. Выражается в веберах (Вб).

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}Ф=BS\cos\alpha,\)

где Ф — магнитный поток, В — модуль вектора магнитной индукции, S — площадь, ограниченная контуром, а alpha — угол между векторами магнитной индукции и нормали к поверхности.

Обозначение через циркуляцию векторного потенциала А: \(Ф\;=\oint_L\;А\cdot dl.\)

В данной статье были рассмотрены основные формулы и понятия, связанные с вектором магнитной индукции.