Какие углы называются вертикальными: определение и свойства

Вертикальные углы — что это такое в геометрии, определение

Свойства вертикальных углов

1. Когда две прямые пересекаются, то образуется две пары вертикальных углов.
2. Синусы, косинусы и тангенсы их равны.
3. В сумме два вертикальных угла создают полный угол. Его градус равняется 360^\circ.

Равны или нет, доказательство теоремы

Особенность вертикальных углов в том, что они абсолютно идентичны.

Убедимся в справедливости этого свойства. Докажем его: на чертеже 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 являются смежными, 1 и 3, 2 и 4 – вертикальные.

По свойству смежных углов, в сумме они дают \(180^\circ\). Используем этот признак и получаем:

\(\angle1+\angle2=180^\circ и \angle2+\angle3=180^\circ\)

Отсюда выведем, что:

\(\angle1=180^\circ-\angle2, \angle3=180^\circ-\angle2\)

Уравнение доказало равенство углов 1 и 3.

Примеры решения задач

Задача 1

Дано

\(\angle1=45^\circ\)

Найти: значения \(\angle2, \angle3, \angle4\)

Решение

\(\angle1\) и \(\angle3\) вертикальные. Значит \(\angle1=\angle3=45^\circ.\)

\(\angle1\) и \(\angle4\) смежные. По правилу о смежных углах:

\(\angle1+\angle4=180^\circ\)

\(\angle4=180^\circ-\angle1=180^\circ-45^\circ=135^\circ\)

Так как \(\angle4\) и \(\angle2\) вертикальные, то \(\angle4=\angle2=135^\circ.\)

Ответ: величина \(\angle3=45^\circ,\) величина \(\angle2\) и \(\angle4=135^\circ.\)

Задача 2

Дано

Две прямые пересеклись и сформировали четыре угла. Сумма двух из них составляет \(140^\circ.\)

Найти: значения всех углов, образовавшихся при пересечении прямых.

Решение

Поскольку по условию пара углов образует \(140^\circ\), это дает право сделать вывод – они вертикальные, так как смежные в сумме должны достигать \(180^\circ\).

Так как вертикальные углы равны, то значение каждого из них соответствует:

\(140/2=70=70^\circ\)

Оставшиеся углы – смежные к вертикальным и вертикальные по отношению друг к другу. Для того, чтобы их вычислить, выполним следующее действие:

\(180-70=110=110^\circ\)

Ответ: \(70^\circ\), \(110^\circ\), \(70^\circ\), \(110^\circ\).